向量線(xiàn)性相關(guān)判斷方法總結(jié)

　　向量的相關(guān)知識(shí)，是線(xiàn)性代數(shù)中較為抽象的部分，向量線(xiàn)性相關(guān)與線(xiàn)性無(wú)關(guān)的判定方法多，性質(zhì)多，定理多，需要大家注重總結(jié)、認(rèn)真梳理。下面是小編為你帶來(lái)的向量線(xiàn)性相關(guān)判斷方法總結(jié) ，歡迎閱讀。

　　向量線(xiàn)性相關(guān)判斷方法總結(jié) 1

　　在數(shù)學(xué)中，幾何向量（也稱(chēng)為歐幾里得向量，通常簡(jiǎn)稱(chēng)向量、矢量），指具有大�。╩agnitude）和方向的量。與之對(duì)應(yīng)的只有大小，沒(méi)有方向的量叫做數(shù)量（物理學(xué)中稱(chēng)標(biāo)量）

　　向量可以形象化地表示為帶箭頭的線(xiàn)段。箭頭所指：代表向量的方向；線(xiàn)段長(zhǎng)度：代表向量的大小。

　　向量的記法：印刷體記作粗體的字母（如a、b、u、v），書(shū)寫(xiě)時(shí)在字母頂上加一小箭頭→。[1]如果給定向量的起點(diǎn)（A）和終點(diǎn)（B），可將向量記作AB（并于頂上加→）。給空間設(shè)一直角坐標(biāo)系，也能把向量以數(shù)對(duì)形式表示，例如Oxy平面中(2,3)是一向量。

　　而在物理學(xué)和工程學(xué)中，幾何向量更常被稱(chēng)為矢量。許多物理量都是矢量，比如一個(gè)物體的位移，球撞向墻而對(duì)其施加的力等等。與之相對(duì)的是標(biāo)量，即只有大小而沒(méi)有方向的量。一些與向量有關(guān)的定義亦與物理概念有密切的聯(lián)系，例如向量勢(shì)對(duì)應(yīng)于物理中的勢(shì)能。

　　幾何向量的`概念在線(xiàn)性代數(shù)中經(jīng)由抽象化，得到更一般的向量概念。此處向量定義為向量空間的元素，要注意這些抽象意義上的向量不一定以數(shù)對(duì)表示，大小和方向的概念亦不一定適用。因此，平日閱讀時(shí)需按照語(yǔ)境來(lái)區(qū)分文中所說(shuō)的"向量"是哪一種概念。不過(guò)，依然可以找出一個(gè)向量空間的基來(lái)設(shè)置坐標(biāo)系，也可以透過(guò)選取恰當(dāng)?shù)亩�義，在向量空間上介定范數(shù)和內(nèi)積，這允許我們把抽象意義上的向量類(lèi)比為具體的幾何向量。

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　　判斷向量組線(xiàn)性相關(guān)的方法有：行列式判別法、向量線(xiàn)性表示法、齊次線(xiàn)性方程組法、秩的判定法。

　　1、行列式判別法：將向量組的向量按列排成矩陣，計(jì)算該矩陣的行列式。如果行列式的值為0，則向量組線(xiàn)性相關(guān)；如果行列式的值不為0，則向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)。

　　2、向量線(xiàn)性表示法：對(duì)于向量組中的任意一個(gè)向量，可以通過(guò)其他向量的線(xiàn)性組合表示出來(lái)。如果存在不全為零的系數(shù)使得線(xiàn)性組合等于零向量，則向量組線(xiàn)性相關(guān)；如果唯一的線(xiàn)性組合是零向量，則向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)。

　　3、齊次線(xiàn)性方程組法：將向量組的向量按列排成矩陣，構(gòu)造齊次線(xiàn)性方程組Ax=0，其中A為系數(shù)矩陣，x為未知向量。如果齊次線(xiàn)性方程組有非零解，則向量組線(xiàn)性相關(guān)；如果齊次線(xiàn)性方程組只有零解，則向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)。

　　4、秩的判定法：將向量組的向量按列排成矩陣，計(jì)算該矩陣的秩。如果秩小于向量的個(gè)數(shù)，則向量組線(xiàn)性相關(guān)；如果秩等于向量的個(gè)數(shù)，則向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)。

　　線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量組在數(shù)學(xué)中的重要性

　　1、線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量組可以用作基礎(chǔ)。在線(xiàn)性代數(shù)中，一個(gè)向量空間可以由一組線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量作為基來(lái)生成。這些基向量可以用來(lái)表示向量空間中的任意向量，而且表示方式是唯一的。基向量的選擇對(duì)于描述向量空間的性質(zhì)和操作非常重要。

　　2、線(xiàn)性無(wú)關(guān)的'向量組可以用于解決線(xiàn)性方程組。在線(xiàn)性方程組的求解過(guò)程中，我們可以利用線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量組來(lái)構(gòu)建增廣矩陣，并通過(guò)高斯消元法等方法求解方程組的解。

　　3、線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量組可以用于描述幾何空間。在幾何學(xué)中，線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量組可以用來(lái)表示平面、直線(xiàn)或更高維度的幾何對(duì)象。

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　　令向量組的線(xiàn)性組合為零（零向量），研究系數(shù)的取值情況，線(xiàn)性組合為零當(dāng)且僅當(dāng)系數(shù)皆為零，則該向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)；若存在不全為零的系數(shù)，使得線(xiàn)性組合為零，則該向量組線(xiàn)性相關(guān)。通過(guò)向量組的正交性研究向量組的相關(guān)性。當(dāng)向量組所含向量的個(gè)數(shù)多于向量的維數(shù)時(shí)，該向量組一定線(xiàn)性相關(guān)。

　　線(xiàn)性相關(guān)定理

　　1、向量a1,a2,…,an(n≧2)線(xiàn)性相關(guān)的充要條件是這n個(gè)向量中的`一個(gè)為其余(n-1)個(gè)向量的線(xiàn)性組合。

　　2、一個(gè)向量線(xiàn)性相關(guān)的充分條件是它是一個(gè)零向量。

　　3、兩個(gè)向量a、b共線(xiàn)的充要條件是a、b線(xiàn)性相關(guān)。

　　4、三個(gè)向量a、b、c共面的充要條件是a、b、c線(xiàn)性相關(guān)。

　　5、n+1個(gè)n維向量總是線(xiàn)性相關(guān)。

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