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高二數(shù)學選修2-1知識點總結(jié)
導語：對于所學知識，我們應當作出總結(jié)。以下是小編整理的高二數(shù)學選修2-1知識點總結(jié)，供各位閱讀和參考。
基礎梳理
1．簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞
(1)命題中的“且”“或”“非”叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞．
(2)簡單復合命題的真值表：
2.全稱量詞與存在量詞
(1)常見的全稱量詞有：“任意一個”“一切”“每一個”“任給”“所有的”等．
(2)常見的存在量詞有：“存在一個”“至少有一個”“有些”“有一個”“某個”“有的”等．
(3)全稱量詞用符號“”表示；存在量詞用符號“”表示．
3．全稱命題與特稱命題
(1)含有全稱量詞的命題叫全稱命題．
(2)含有存在量詞的命題叫特稱命題．
4．命題的否定
(1)全稱命題的否定是特稱命題；特稱命題的否定是全稱命題．
(2)p或q的否定為：非p且非q；p且q的否定為：非p或非q.
一個關(guān)系
邏輯聯(lián)結(jié)詞與集合的關(guān)系
“或、且、非”三個邏輯聯(lián)結(jié)詞，對應著集合運算中的“并、交、補”，因此，常常借助集合的“并、交、補”的意義來解答由“或、且、非”三個聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題問題．
兩類否定
1．含有一個量詞的命題的否定
(1)全稱命題的否定是特稱命題
全稱命題p：x∈M，p(x)，它的否定p：x0∈M，p(x0)．
(2)特稱命題的否定是全稱命題
特稱命題p：x0∈M，p(x0)，它的否定p：x∈M，p(x)．
2．復合命題的否定
(1)非(p∧q)(p)∨(q)；
(2)非(p∨q)(p)∧(q)．
三條規(guī)律
(1)對于“p∧q”命題：一假則假；
(2)對“p∨q”命題：一真則真；
(3)對“p”命題：與“p”命題真假相反．
雙基自測
1．(人教A版教材習題改編)已知命題p：x∈R，sin x≤1，則( )．
A．p：x0∈R，sin x0≥1 B．p：x∈R，sin x≥1
C．p：x0∈R，sin x0>1 D．p：x∈R，sin x>1
解析 命題p是全稱命題，全稱命題的否定是特稱命題．
答案 C
2．(2011·北京)若p是真命題，q是假命題，則( )．
A．p∧q是真命題 B．p∨q是假命題
C．p是真命題 D．q是真命題
解析 本題考查命題和邏輯聯(lián)結(jié)詞的基礎知識，意在考查考生對邏輯聯(lián)結(jié)詞的理解運用能力．只有q是真命題．
答案 D
3．命題p：若a，b∈R，則|a|＋|b|＞1是|a＋b|＞1的充分而不必要條件．命題q：函數(shù)y＝的定義域是(－∞，－1]∪[3，＋∞)則()．
A．“p或q”為假 B．“p且q”為真
C．p真q假 D．p假q真
答案 D
4．設p、q是兩個命題，則復合命題“p∨q為真，p∧q為假”的充要條件是()．
A．p、q中至少有一個為真 B．p、q中至少有一個為假
C．p、q中有且只有一個為真 D．p為真、q為假
答案 C
5．(2010·安徽)命題“對任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是______________________．
答案 存在x0∈R，使|x0－2|＋|x0－4|≤3
考向一 含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假的判斷
【例1】(2010·新課標全國)已知命題p1：函數(shù)y＝2x－2－x在R上為增函數(shù)，p2：函數(shù)y＝2x＋2－x在R上為減函數(shù)，則在命題q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(p1)∨p2和q4：p1∧(p2)中，真命題是()．
A．q1，q3 B．q2，q3
C．q1，q4 D．q2，q4
[審題視點] 根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性判斷p1，p2的真假．
解析 可判斷p1為真，p2為假；則q1為真，q2為假，q3為假，q4為真．
答案 C
“p∨q”、“p∧q”、“q”形式命題真假的判斷步驟：(1)確定命題的構(gòu)成形式；(2)判斷其中命題p、q的真假；(3)確定“p∨q”、“p∧q”、“q”形式命題的真假．
【訓練1】 已知命題p：x0∈R，使sin x0＝25；命題q：x∈R，都有x2＋x＋1＞0.給出下列結(jié)論
①命題“p∧q”是真命題； ②命題“p∨q”是假命題；
③命題“p∨q”是真命題； ④命題“p∨q”是假命題．
其中正確的是()．
A．②③ B．②④
C．③④ D．①②③
解析 命題p是假命題，命題q是真命題，故③④正確．
答案 C
考向二 全稱命題與特稱命題
【例2】寫出下列命題的否定，并判斷其真假．
(1)p：x∈R，x2－x＋41≥0；
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)r：x0∈R，x02＋2x0＋2≤0；
(4)s：至少有一個實數(shù)x0，使x03＋1＝0.
[審題視點] 改變量詞，否定結(jié)論，寫出命題的否定；判斷命題的真假．
解 (1)p：x0∈R，x02－x0＋41＜0，假命題．
(2)q：至少存在一個正方形不是矩形，假命題．
(3)r：x∈R，x2＋2x＋2＞0，真命題．
(4)s：x∈R，x3＋1≠0，假命題．
全稱命題與特稱命題的否定與命題的否定有一定的區(qū)別，否定全稱命題和特稱命題時，一是要改寫量詞，全稱量詞改寫為存在量詞，存在量詞改寫為全稱量詞；二是要否定結(jié)論．而一般命題的否定只需直接否定結(jié)論即可．
【訓練2】 寫出下列命題的否定，并判斷真假．
(1)p：x∈R，x不是3x－5＝0的根；
(2)q：有些合數(shù)是偶數(shù)；
(3)r：x0∈R，|x0－1|＞0.
解 (1)p：x0∈R，x0是3x－5＝0的根，真命題．
(2)q：每一個合數(shù)都不是偶數(shù)，假命題．
(3)r：x∈R，|x－1|≤0，假命題．
考向三 根據(jù)命題的真假，求參數(shù)的取值范圍
【例3】(2012·浙大附中月考)已知命題p：方程x2＋mx＋1＝0有兩個不等的負實數(shù)根；命題q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0無實數(shù)根．若“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，求m的取值范圍．
[審題視點] 先解不等式將命題p與命題q具體化，然后根據(jù)“p或q”與“p且q”的條件可以知道命題p與命題q一真一假，從而求出m的取值范圍．
解 由p得：－m＜0，Δ1＝m2－4＞0，則m＞2.
由q得：Δ2＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0，
則1＜m＜3.
又∵“p或q”為真，“p且q”為假，∴p與q一真一假．
�、佼攑真q假時，m≤1或m≥3，m＞2，解得m≥3；
②當p假q真時，1＜m＜3，m≤2，解得1＜m≤2.
∴m的取值范圍為m≥3或1＜m≤2.
含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題要先確定構(gòu)成命題的(一個或兩個)命題的真假，求出此時參數(shù)成立的條件，再求出含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題成立的條件．
【訓練3】 已知a＞0，設命題p：函數(shù)y＝ax在R上單調(diào)遞增；命題q：不等式ax2－ax＋1＞0對x∈R恒成立．若p且q為假，p或q為真，求a的取值范圍．
解 ∵函數(shù)y＝ax在R上單調(diào)遞增，∴p：a＞1.
不等式ax2－ax＋1＞0對x∈R恒成立，
∴a＞0且a2－4a＜0，解得0＜a＜4，∴q：0＜a＜4.
∵“p∧q”為假，“p∨q”為真，
∴p、q中必有一真一假．
�、佼攑真q假時，a≥4，a＞1，得a≥4.
②當p假q真時，0＜a＜4，0＜a≤1，得0＜a≤1.
故a的取值范圍為(0,1]∪[4，＋∞)．
規(guī)范解答1——借助常用邏輯用語求解參數(shù)范圍問題
【問題研究】 利用常用邏輯用語求解參數(shù)的取值范圍主要涉及兩類問題：一是利用一些含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假來確定參數(shù)的取值范圍；二是利用充要條件來確定參數(shù)的取值范圍.求解時，一定要注意取值區(qū)間端點值的檢驗，處理不當容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象.,
【解決方案】 解決此類題目首先是合理轉(zhuǎn)化條件、運用有關(guān)性質(zhì)、定理等得到參數(shù)的方程或不等式，然后通過解方程或不等式求得所求問題.
【示例】 已知c＞0，且c≠1，設p：函數(shù)y＝cx在R上單調(diào)遞減；q：函數(shù)f(x)＝x2－2cx＋1在，＋∞1上為增函數(shù)，若“p∧q”為假，“p∨q”為真，求實數(shù)c的取值范圍．
(1)p，q真時，分別求出相應的c的范圍；
(2)用補集的思想求出p，q分別對應的c的范圍；(3)根據(jù)“p∧q”為假、“p∨q”為真，確定p，q的真假．
[解答示范] ∵函數(shù)y＝cx在R上單調(diào)遞減，
∴0＜c＜1.
即p：0＜c＜1.∵c＞0且c≠1，∴p：c＞1.
又∵f(x)＝x2－2cx＋1在，＋∞1上為增函數(shù)，
∴c≤21.即q：0＜c≤21.
∵c＞0且c≠1，∴q：c＞21且c≠1.
又∵“p∨q”為真，“p∧q”為假，∴p真q假或p假q真．
①當p真，q假時，{c|0＜c＜1}∩且c≠11＝＜c＜11；
�、诋攑假，q真時，{c|c＞1}∩21＝.
綜上所述，實數(shù)c的取值范圍是＜c＜11.
解決此類問題的關(guān)鍵是首先準確地把每個條件所對應的參數(shù)的取值范圍求出來，然后轉(zhuǎn)化為集合交、并、補的基本運算．
【試一試】 設p：方程x2＋2mx＋1＝0有兩個不相等的正根；q：方程x2＋2(m－2)x－3m＋10＝0無實根．求使p∨q為真，p∧q為假的實數(shù)m的取值范圍．
[嘗試解答] 由x1＋x2＝－2m＞0，Δ1＝4m2－4＞0，得m＜－1.
∴p：m＜－1；
由Δ2＝4(m－2)2－4(－3m＋10)＜0，
知－2＜m＜3，∴q：－2＜m＜3.
由p∨q為真，p∧q為假可知，命題p，q一真一假，
當p真q假時，m≥3或m≤－2，m＜－1，此時m≤－2；
當p假q真時，－2＜m＜3，m≥－1，此時－1≤m＜3.
∴m的取值范圍是{m|m≤－2，或－1≤m＜3}．
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