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一次函數(shù)方案設(shè)計(jì)問題
一次函數(shù)是最基本的函數(shù)，它與一次方程、一次不等式有著密切聯(lián)系，接下來小編搜集了一次函數(shù)方案設(shè)計(jì)問題，歡迎查看，希望幫助到大家。
1、優(yōu)惠方案的設(shè)計(jì)
例： 某校校長暑假將帶領(lǐng)該校市級(jí)“三好生”去北京旅游。甲旅行社說：“如果校長買全票一張，則其余學(xué)生可享受半價(jià)優(yōu)待�！币衣眯猩缯f：“包括校長在內(nèi)，全部按全票價(jià)的6折(即按全票價(jià)的60%收費(fèi))優(yōu)惠�！比羧眱r(jià)為240元。(x大于等于1)
(1)設(shè)學(xué)生數(shù)為x，甲旅行社收費(fèi)為y甲，乙旅行社收費(fèi)為y乙，分別計(jì)算兩家旅行社的收費(fèi)(建立表達(dá)式)；
(2)當(dāng)學(xué)生數(shù)是多少時(shí)，兩家旅行社的收費(fèi)一樣；
(3)就學(xué)生數(shù)x討論哪家旅行社更優(yōu)惠。
解 (1)y甲=120x+240, y乙=240·60%(x+1)=144x+144。
(2)根據(jù)題意，得120x+240=144x+144, 解得 x=4。
答：當(dāng)學(xué)生人數(shù)為4人時(shí)，兩家旅行社的收費(fèi)一樣多。
(3)當(dāng)y甲>y乙，120x+240>144x+144， 解得 1≤x<4。
當(dāng)y甲<y乙,120x+240<144x+144, x="">4。
答：當(dāng)學(xué)生人數(shù)少于4人大于等于1時(shí)，乙旅行社更優(yōu)惠；當(dāng)學(xué)生人數(shù)多于4人時(shí)，甲旅行社更優(yōu)惠；本題運(yùn)用了一次函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)，解決了優(yōu)惠方案的設(shè)計(jì)問題。
綜上所述，利用一次函數(shù)的圖象、性質(zhì)及不等式的整數(shù)解與方程的有關(guān)知識(shí)解決了實(shí)際生活中許多的方案設(shè)計(jì)問題。
2.調(diào)運(yùn)方案設(shè)計(jì)
例：北京某廠和上海某廠同時(shí)制成電子計(jì)算機(jī)若干臺(tái)，北京廠可支援外地10臺(tái)，上海廠可支援外地4臺(tái)，現(xiàn)在決定給重慶8臺(tái)，漢口6臺(tái)。如果從北京運(yùn)往漢口、重慶的運(yùn)費(fèi)分別是4百元/臺(tái)、8百元/臺(tái)，從上海運(yùn)往漢口、重慶的運(yùn)費(fèi)分別是3百元/臺(tái)、5百元/臺(tái)。求：
(1)若總運(yùn)費(fèi)為8400元，上海運(yùn)往漢口應(yīng)是多少臺(tái)?
(2)若要求總運(yùn)費(fèi)不超過8200元，共有幾種調(diào)運(yùn)方案?
(3)求出總運(yùn)費(fèi)最低的調(diào)運(yùn)方案，最低總運(yùn)費(fèi)是多少元?
設(shè)上海運(yùn)往漢口x臺(tái)
解：設(shè)上海廠運(yùn)往漢口x臺(tái)，那么上海運(yùn)往重慶有(4-x)臺(tái)，北京廠運(yùn)往漢口(6-x)臺(tái)，北京廠運(yùn)往重慶(4+x)臺(tái)，則總運(yùn)費(fèi)W關(guān)于x的一次函數(shù)關(guān)系式：
W=3x+4(6-x)+5(4-x)+8(4+x)=76+2x。
(1) 當(dāng)W=84(百元)時(shí)，則有76+2x=84,解得x=4。
若總運(yùn)費(fèi)為8400元，上海廠應(yīng)運(yùn)往漢口4臺(tái)。
(2) 當(dāng)W≤82(元)，則
解得0≤x≤3，因?yàn)閤只能取整數(shù)，所以x只有四種可的能值：0、1、2、3。
答：若要求總運(yùn)費(fèi)不超過8200元，共有4種調(diào)運(yùn)方案。
(3) 因?yàn)橐淮魏瘮?shù)W=76+2x隨著x的增大而增大，又因?yàn)?≤x≤3，所以當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)W=76+2x有最小值，最小值是W=76(百元)，即最低總運(yùn)費(fèi)是7600元。
此時(shí)的調(diào)運(yùn)方案是：上海廠的4臺(tái)全部運(yùn)往重慶；北京廠運(yùn)往漢口6臺(tái)，運(yùn)往重慶4臺(tái)。
本題運(yùn)用了函數(shù)思想得出了總運(yùn)費(fèi)W與變量x的一般關(guān)系，再根據(jù)要求運(yùn)用方程思想、不等式等知識(shí)解決了調(diào)運(yùn)方案的設(shè)計(jì)問題。并求出了最低運(yùn)費(fèi)價(jià)。
3、生產(chǎn)方案的設(shè)計(jì)
例： 某工廠現(xiàn)有甲種原料360千克，乙種原料290千克，計(jì)劃利用這兩種原料生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，共50件。已知生產(chǎn)一件A種產(chǎn)品需用甲種原料9千克、乙種原料3千克，可獲利潤700元；生產(chǎn)一件B種產(chǎn)品，需用甲種原料4千克、乙種原料10千克，可獲利潤1200元。
(1)要求安排A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù)，有哪幾種方案?請(qǐng)你設(shè)計(jì)出來；
(2)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品獲總利潤是y(元)，其中一種的生產(chǎn)件數(shù)是x，試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并利用函數(shù)的性質(zhì)說明(1)中的哪種生產(chǎn)方案獲總利潤最大?最大利潤是多少?
解 (1)設(shè)安排生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件，則生產(chǎn)B種產(chǎn)品是(50-x)件。由題意得
列不等式組：
9x+4(50-x) ≤360
3x+10(5-x) ≤290
解不等式組得 30≤x≤32。
因?yàn)閤是整數(shù)，所以x只取30、31、32，相應(yīng)的(50-x)的值是20、19、18。
所以，生產(chǎn)的方案有三種，即第一種生產(chǎn)方案：生產(chǎn)A種產(chǎn)品30件，B種產(chǎn)品20件；第二種生產(chǎn)方案：生產(chǎn)A種產(chǎn)品31件，B種產(chǎn)品19件；第三種生產(chǎn)方案：生產(chǎn)A種產(chǎn)品32件，B種產(chǎn)品18件
(2)設(shè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品的件數(shù)是x，則生產(chǎn)B種產(chǎn)品的件數(shù)是50-x。由題意得
y=700x+1200(50-x)=-500x+6000。(其中x只能取30，31，32。)
因?yàn)?500<0, 所以 此一次函數(shù)y隨x的增大而減小，
所以 當(dāng)x=30時(shí)，y的值最大。
因此，按第一種生產(chǎn)方案安排生產(chǎn)，獲總利潤最大，最大利潤是：-500·3+6000=4500(元)。
本題是利用不等式組的知識(shí)，得到幾種生產(chǎn)方案的設(shè)計(jì)，再利用一次函數(shù)性質(zhì)得出最佳設(shè)計(jì)方案問題。
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