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《數(shù)與形》課堂實錄
引導(dǎo)語：想要學(xué)好數(shù)學(xué)，無非是從數(shù)字和形狀下手，那么相關(guān)的《數(shù)與形》課堂實錄哪里有呢？接下來是小編為你帶來收集整理的文章，歡迎閱讀！
一、談話導(dǎo)入
1、師：同學(xué)們，我們學(xué)過了哪些數(shù)學(xué)知識？
生：分?jǐn)?shù)乘法。
師：這是關(guān)于數(shù)的知識。
生：我們學(xué)過小數(shù)乘法。
師：這也是關(guān)于數(shù)的知識。
生：我們學(xué)過長方體正方體的體積。
師：這是關(guān)于形的知識。
生：我們學(xué)過比。
師：這是關(guān)于數(shù)的知識。
生：我們還學(xué)過奇數(shù)偶數(shù)。
師：這也是關(guān)于數(shù)的知識。
（將以前學(xué)過的知識進(jìn)行整理，都可以分為“數(shù)”和“形”兩類）
2、圖片欣賞。
師：讓我們來看一幅圖片，圖片中有什么？
生：花壇。
師：說具體點。
生：一個正方形花壇。
師：在這句話中就既有數(shù)、又有形。
�。ㄑ菔荆簲�(shù)：一個 形：正方形 物： 花壇）
師小結(jié)：（錄音中不包括）
二、探究新知。
1、從1開始的n個連續(xù)奇數(shù)相加的和是多少？
師：n個是幾個？
生：無數(shù)個。
師：這個n代表多少？可以代表300嗎？
生：可以。
師：有可能是300個，有沒有可能是30個？有沒有可能是3個？也就是說，它的個數(shù)是不固定的。那它的個數(shù)不固定，它的和呢？
生：也不固定。
師：可見這個和必定和這個n有關(guān)系。那它到底有什么聯(lián)系呢？怎么才能知道它有什么聯(lián)系？
師：你有方法嗎？想一想你有沒有好的思路？
生：可以自己先算一算。
師：怎么算？
生：先算出10個，然后再進(jìn)行推算。
師：真好。他的意思是把n先假定在10個以內(nèi)，對嗎？很好的策略。復(fù)雜的問題往往要從簡單的開始。那我們就聽你的，把n的個數(shù)假定在10個以內(nèi)，舉一些例子來看一看他們有什么聯(lián)系。幾個最簡單？
生：1個。
師：1個最簡單，那我們來看。如果有1個這樣的奇數(shù)那算式也只能是1，和也是1。
師：如果有兩個這樣的奇數(shù)相加，那算式應(yīng)該是什么樣子的？
生：1+3
師：對嗎？和呢？
生：4
師：它們是不是有聯(lián)系？繼續(xù)。3個。
生：1+3+5
師：同意嗎？和呢？
生：9
師：再來一個。
生：1+3+5+7
師：同意嗎？和是？
生：16.
師：我想是不是有同學(xué)觀察到了什么？你有什么發(fā)現(xiàn)？先在小組說說你的發(fā)現(xiàn)，關(guān)鍵是下面的算式是不是都有這個規(guī)律？任選一個驗證一下。
師：（巡視指導(dǎo)）任選一個驗證一下，看看下面的算式是不是也有這樣的規(guī)律，規(guī)律應(yīng)該是有連續(xù)性的。
2、小組匯報交流。
師：同學(xué)們有發(fā)現(xiàn)嗎？誰來說一下你有什么發(fā)現(xiàn)。
生：每個后面的數(shù)都是加2，而且都是奇數(shù)。
生：后面得的這個數(shù)都是前面這個數(shù)的平方倍。
師：你能找一個數(shù)解釋一下嗎？
生：5，算式是1+3+5+7+9=25
師：那你說一下5和25的關(guān)系。
生：25是5的平方倍。
師：25是5的平方。你們有沒有這樣的發(fā)現(xiàn)？你們驗證的是哪一個？
生：我們驗證的是6.
師：6，6個這樣的奇數(shù)相加是多少？
生：36.
師：算式是1+3+5+7+9+11=36，也有這個規(guī)律。那大家再來看這些是不是都有這個規(guī)律？為了便于觀察，我們可以將算式先隱藏起來，大家看一看，確認(rèn)一下，有這個規(guī)律嗎？
3、小結(jié)。
師：按照剛才這個同學(xué)的說法，當(dāng)有1個這樣的奇數(shù)相加的時候，它的和就是1×1；也就是1的平方；當(dāng)有2個這樣的奇數(shù)相加，它的和4就是2的平方；9呢？3的平方；16呢？4的平方；25呢？5的平方。依次這樣下去，看來真的有這樣的規(guī)律。以此類推，如果有20個這樣的連續(xù)奇數(shù)相加，你覺得它的和應(yīng)該是多少？
生：400.
師：怎么算的？
生：20×20=400
師：那如果有100個這樣的連續(xù)奇數(shù)的和應(yīng)該是多少？
生：100×100=10000.
師：以此類推，如果有n個這樣連續(xù)奇數(shù)相加的和應(yīng)該是多少？
生：n的平方。
師：齊讀。
生：從1開始的n個連續(xù)奇數(shù)相加的和是n的平方。
師：這個規(guī)律有意思嗎？從1開始的幾個連續(xù)奇數(shù)，它的和竟然可以用它的個數(shù)的平方來算。你覺得奇怪嗎？你不奇怪能不能來解釋一下？為什么這樣連續(xù)奇數(shù)相加是它的和可以用個數(shù)的平方來算？
生：比如說5，就是5個數(shù)相加，它的和就是5的平方。
生：可以用簡便算法來試試。10個連續(xù)奇數(shù)，可以看做是1+19,3+17,5+15,7+13,9+11，就是5個20相加。
師：你用了另一種算法，但是仍然不能解釋為什么它們的和要用個數(shù)的平方來算。
4、小組交流。
師：說實話，同學(xué)們，如果這個道理從數(shù)的道理來解釋，還真的不太好解釋，那該怎么辦？華羅庚說過：“不懂就畫圖”，我們?yōu)榱俗尨蠹衣牭酶宄蠋煖?zhǔn)備了一幅畫，我們來拼圖。我來做個示范。哪個最簡單？
生：1
師：我用1個紅色的正方形來代表1，1行而且1個，1乘1還是1，下一個1+3,你能用這樣的圖形來表示出來嗎？拼出個1+3行不行？大家小組內(nèi)都有這樣的小正方形，拼一拼。
（巡視指導(dǎo)）
5、小組展示。
師：請問，這可以表示1+3嗎？（指著橫排成一排的）
師：“1”在哪里？（紅色）“3”呢？（黃色）這個是不是可以表示1+3？
師：這個正方形可以表示1+3嗎？
生：可以。
師：“1”在哪里？（紅色）“3”呢？（黃色）。這都表示1+3.關(guān)鍵是我們不光是能夠表示1+3，還要解釋1+3為什么用2×2來算。那哪一個圖形既能表示1+3，又能表示2×2呢？
師：說一說，2×2在哪里？
生：每行有兩個，有兩個2，就是2×2。
師：有兩列，而且有兩行，就表示2×2。看來，拼成正方形，就可以表示從1開始的這樣的連續(xù)奇數(shù)相加，還可以表示一個數(shù)的平方。這樣的1+3是不是也可以用2×2來算？那下一個，1+3+5又該怎么拼?你來試試看。
�。▽W(xué)生拼圖：1+3+5，教師巡視。）
6、
師：大家看，你們拼成一個正方形了嗎？我看到大家拼的正方形的樣子都不太一樣，顏色的排列不同，這位同學(xué)排的好不好？好在哪里？
生：最小的數(shù)量在最里面，中間的數(shù)量在中間，最大的數(shù)量在最外邊。
師：對，大家雖然都拼成了正方形，但是我們數(shù)學(xué)上要講究順序、規(guī)律、條理，這位同學(xué)拼的非常好。這樣，你能解釋1+3+5用3的平方來算呢？
生：因為他們橫著豎著都是三個。
師：橫著每行有三個，而且有三行，所以可以用3的平方來計算。那1+3+5+7你會拼了嗎？方塊已經(jīng)沒有了，讓我們來想一想，如果在這個（1+3+5）的基礎(chǔ)上再加上7個，你覺得這7個可以怎么擺？
生：按照原來的方法再擺一層。
師：繼續(xù)想，拼完之后又是什么圖形？
生：正方形。
師：這個正方形的每條邊上有幾個小方塊？有幾行？（課件演示不同的顏色），這些不同的顏色分別表示幾？為什么1+3+5+7可以用4的平方來算？
生：因為這幾個不同顏色的方塊拼在一起就組成了大大的正方形，這個正方形可以拼成4行，每行有4個，可以用4的平方來計算。
師：同學(xué)們，如果繼續(xù)這樣拼下去，再加上一個奇數(shù)，9，現(xiàn)在有幾個奇數(shù)？而且小正方形每條邊上的個數(shù)也變成5個，而且有這樣的5行，所以它的和可以用5的平方來算。那，繼續(xù)這樣拼下去，再增加一個奇數(shù)，11，它的總和可以用6的平方來算。再來一行呢？可以用7的平方，以此類推，如果有n個這樣的連續(xù)奇數(shù)，那就可以用n的平方來算。
師：這個規(guī)律你現(xiàn)在弄明白了嗎？我們是怎么弄明白的？
生：在我們不懂得時候就可以用形狀來解。
生：形可以很簡便的了解不會的問題。
7、小結(jié)
師：是的，數(shù)是很抽象的，很多道理我們需要借助形的力量來理解，把數(shù)化成形之后，可以使復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得更加的清楚、明白，我們把這樣的過程叫做“化數(shù)為形”，然后以形來助數(shù)，幫助理解數(shù)量關(guān)系。
8、
師：那數(shù)的規(guī)律可以借助圖形來幫助思考，那形的變化背后是不是也隱藏著數(shù)的規(guī)律呢？
師：我來口述一個問題，大家來思考。有一種桌子，四面坐人可以坐8個人，如果兩個桌子拼到一起就可以坐12個人，3張桌子拼到一起可以坐16個人，這樣的100張桌子拼到一起可以坐多少個人？
師：你聽懂了嗎？其實這個事挺簡單的，但是用話說卻說不明白，你們有沒有好的方法？
生：畫圖。
師：如果畫出來的話，（課件演示）1張桌子可以坐8個人，2張桌子可以坐12個人，3張桌子可以坐16個人，100張桌子可以坐多少人？小組討論交流，把答案寫在作業(yè)紙上。
�。ㄐ〗M討論交流。）
師：小組同學(xué)來說一說你們的做法。
師：請你借助圖形來說一說你為什么這樣做？
生：我們組算的是一共有404人。100張桌子拼在一起，這一邊也就是它的長邊一共有400個人，再加上兩頭有4個人，一共有404人。
生：它每張桌子的兩邊坐4個人，他有100張桌子，再加上邊上就是它的寬分別坐2人，400+4=404人。
師：算式就是100×4,100×4的意思就是每張桌子兩邊都坐4個人，100張桌子就做400個人，旁邊還有4人，所以需要在加上4，等于404人。
師：還有其他做法嗎？
生：我們小組是這樣想的，把第一張桌子去掉的話，每增加一張桌子就增加4個人，8+4×99=404人。
師：算式是這樣的，8先不看，多了99張桌子，每多一張桌子就多4個人，所以多了4×99這些人，然后再加上8人等于404人
師：我想問一下，這是一個圖形的問題，為什么你們不去畫圖，卻用數(shù)來算呢？
生：老師我感覺畫圖太麻煩了，因為它有100張桌子。
師：對，畫圖太麻煩了，這時候需要借助數(shù)的力量，把形的計算問題用數(shù)來做會更加的快速、簡便而且準(zhǔn)確。那我們把這樣的過程叫做化形為數(shù)，然后以數(shù)來解形。（板書）
師：同學(xué)們，回顧這兩個例子，在第一個例子當(dāng)中，數(shù)的問題可以借助圖形來思考，而第二個例子當(dāng)中，形的知識可以借助數(shù)來計算，數(shù)和形各有優(yōu)點，它們一一對應(yīng)而且可以互相轉(zhuǎn)化，互為補充，這就意味著要求我們在解決問題的時候要把數(shù)和形結(jié)合起來，這在數(shù)學(xué)上是一種重要的思想，就叫“數(shù)形結(jié)合思想”。
師：對于“數(shù)形結(jié)合”，我國數(shù)學(xué)家華羅庚先生有一段話非常好。讓我們一起讀一遍：
生：數(shù)缺形時少直覺，形缺數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。
師：數(shù)形結(jié)合百般好，可是怎樣做到數(shù)與形的結(jié)合呢？我想，這既然是一種思想，那我們還是要落腳到這兩個數(shù)上，“思”和“想”，也就是要見“數(shù)”思“形”，見“形”想“數(shù)”。 試試你能不能夠做到。
9、鞏固練習(xí)
師： 有這樣一道算式（3×2），你能夠想到什么圖形？
生：我能想到一個長方形。
師：為什么？
生：因為可以想象它的長是3，高是2,6就是他們的面積。
師：大家說有沒有道理？可見數(shù)的變化背后卻是隱藏著形。
師：再來看，這是一位同學(xué)畫的一副圖形，它用來表示一個數(shù)，你覺得它是那一個數(shù)呢？
生：我覺得是3.5，因為前面它畫的三根一樣的線表示3個整數(shù)，后邊畫了前面一根線的二分之一，所以變成3.5
師：有沒有道理？它可以表示35嗎？
生：可以
師：為什么可以？
生：比如說他前面三個整數(shù)可以想象一個整數(shù)為10，然后就是35.
師：有這樣一個數(shù)量關(guān)系，一袋大米中60千克，吃了四分之三，你能夠想到用什么圖形來表示它？
生：我想到用一個邊長為4厘米的的長方形來表示。
生：把一個長方形平均分成四份，每份是1厘米。
師：那即是說把它平均分成4份，吃了的是3份。
10、
師：這樣一個圖形，你會想到是幾的平方？為什么？
生：因為這個正方形邊長均為3，
師：邊長為3可以用3的平方來表示，我們把3的平方還原成像第一張那樣幾個連續(xù)奇數(shù)的相加這個算式，這應(yīng)該是什么樣子的？
生：1+3+5
師：那這樣的一個算是又可以用幾的平方來表示？
生：應(yīng)該是4的平方，因為把它倒過來后就等于1+3+5+7,所以可以用4的平方來表示，
師：那4的平方你又能想到什么圖形？
生：可以想象出一個正方形。
師：多大的正方形？
生：邊長為4的正方形。
師：如果把上邊的算式合起來，和應(yīng)該是多少？
師：想一想，3的平方等于幾？4的平方等于幾？9+16=25，是5的平方
師：5的平方你又能想到什么圖形？
生：邊長都是5厘米的正方形。
師：大家看，一個有趣的算式出現(xiàn)了，3的平方加4的平方等于5的平方，這個有趣的算式背后還隱藏著有趣的圖形，大家看，直角三角形它的一條直角邊如果是3，另一條直角邊是4，那他的斜邊就一定是5，這是我們初中要學(xué)的一個重要的定理，叫做勾股定理。
師：大家看，數(shù)形結(jié)合的思想不但從小學(xué)階段一直在陪伴著我們，更重的是對于我們初中乃至以后的學(xué)習(xí)有著十分重要的意義，我想，這也正是我們?yōu)槭裁匆谶@里講這樣一節(jié)課的目的和價值所在。下面給大家介紹一些有意思的數(shù)。
像當(dāng)中的這些書化成圖形都是正方形，我們就把這樣的數(shù)叫做“正方形數(shù)”；按照這樣的叫法，這些數(shù)叫做“三角形數(shù)”；這些可以叫“梯形數(shù)”這些呢？“五邊形數(shù)”，像這樣的數(shù)還有很多。我們現(xiàn)在再來感受一下這些數(shù)。你覺得這些數(shù)它還只是數(shù)嗎？它有形狀嗎？這些形它還只是形嗎？它有數(shù)嗎？數(shù)和形，形和數(shù)能分得開嗎？所以數(shù)學(xué)上也沒把他們分開，我們就把這樣有形狀的數(shù)叫做“形數(shù)”，知道形數(shù)是誰發(fā)現(xiàn)的嗎？他叫“畢達(dá)哥拉斯”，他有一個著名的理論，他認(rèn)為世界上萬事萬物的背后都隱藏著數(shù)的規(guī)律，它還舉了一個例子，1可以用1個點來表示，2用兩個點來表示，那它就可以練成一條線，3個點就可以煉成一個平面，不同平面的4個點連在一起，他就是一個立體圖形。大家想，世界上的萬事萬物背后，是不是都是以或點、或線、或面、或體這樣的形式存在的，所以他們認(rèn)為，“萬物皆數(shù)”。
這節(jié)課馬上就要結(jié)束了，老師問問大家，學(xué)完這一節(jié)課后你有什么體會？或者說你對于數(shù)和形的認(rèn)識有沒有發(fā)生一些改變？
生：數(shù)和形它們兩個是不能相離得的。
師：你以前是怎么認(rèn)識的？
生：我以前認(rèn)為給我一個數(shù)我就去想他做題的答案。
生：我以前認(rèn)為光用一個數(shù)就能解開一個題，現(xiàn)在我知道了數(shù)和形是形影不離的。
師：接著這位同學(xué)的話來說，如果把你們以前那種認(rèn)識歸結(jié)為“看形是形、看數(shù)是數(shù)”的話，那只是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的第一境界；那你覺得第二境界應(yīng)該是什么樣子的？“看形不是形，看數(shù)不是數(shù)”。 看形不是形，是什么？看數(shù)不是數(shù)是什么？也就是說，數(shù)形要結(jié)合。
下課！