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《點(diǎn)陣中的規(guī)律》的教學(xué)實(shí)錄
一、談話引入
師：從小我們就學(xué)數(shù)數(shù)、用數(shù)字，那么對于數(shù)字的發(fā)明和發(fā)展過程，你們都哪些了解？（學(xué)生交流課前搜集的相關(guān)信息）
生1：古時候人們用石子來計數(shù)，比如打一只兔子就擺一塊石子。
生2：還有用繩子打結(jié)的，有幾個人就打幾個結(jié)。
生3：我知道我們現(xiàn)在用的數(shù)字是印度人發(fā)明的，從阿拉伯傳到我國的，所以叫阿拉伯?dāng)?shù)字。
師：大家了解的信息真不少！阿拉伯?dāng)?shù)字的發(fā)明，使我們的記錄和計算更加方便，但是在表現(xiàn)數(shù)字的特征方面，有時候圖形會更加直觀。今天老師請來了一位圖形朋友點(diǎn)（老師在黑板上畫點(diǎn)），看到這個點(diǎn)，你能快速地想到哪個數(shù)字？
生齊：1。
師：不要小看了這個小小的點(diǎn)，早在2000多年前，古希臘的數(shù)學(xué)家們就是從這樣一個小小的點(diǎn)開始研究，發(fā)現(xiàn)了由許多個這樣的點(diǎn)組成的圖形中的規(guī)律，還給這些圖形取了一個好聽的名字，叫點(diǎn)陣。同學(xué)們想不想過一把當(dāng)數(shù)學(xué)家的癮，自己來尋找這些規(guī)律？
生齊：想。
師：今天，我們就一起來探究點(diǎn)陣中隱含的規(guī)律。（板書課題：點(diǎn)陣中的規(guī)律）
二、探究正方形點(diǎn)陣中的規(guī)律
1、探究一組正方形點(diǎn)陣的規(guī)律。
師：我們一起來看看數(shù)學(xué)家們當(dāng)年研究的點(diǎn)陣圖，邊看邊說出各個點(diǎn)陣的點(diǎn)子數(shù)。
（依次出示前四個正方形點(diǎn)陣圖，并逐步引導(dǎo)學(xué)生想像、猜測：下一個點(diǎn)陣圖會是什么樣子呢？）
生：第一個是1個點(diǎn)；第二個是4個點(diǎn)；
師：在心里想第三個、第四個點(diǎn)陣圖是什么樣子。（示圖）與你的想像一樣嗎？
生1：一樣。就是9個點(diǎn)。
生2：我知道第四個點(diǎn)陣有16個點(diǎn)，肯定是的。
�。S著點(diǎn)陣圖的依次出現(xiàn)，學(xué)生的思維逐漸活躍，當(dāng)?shù)谌齻�點(diǎn)陣圖出現(xiàn)的時候，學(xué)生不用數(shù)，已經(jīng)忍不住地說出了點(diǎn)數(shù)。說明學(xué)生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了這組正方形點(diǎn)陣中的規(guī)律。但這時，教師沒有急于讓學(xué)生發(fā)表自己的看法，而是給學(xué)生留出了完善自己想法的時間，同時也暗示學(xué)生：規(guī)律的呈現(xiàn)不能依靠一個或幾個圖形來歸納，應(yīng)該有耐心地繼續(xù)自己的觀察活動。）
師：除了能說出各個點(diǎn)陣的點(diǎn)數(shù)之外，仔細(xì)觀察點(diǎn)陣圖：你們還有什么其它的發(fā)現(xiàn)？
生1：第一個點(diǎn)陣是1個點(diǎn)，其余的都是正方形的。
生2：我發(fā)現(xiàn)從第一個圖開始點(diǎn)子數(shù)分別是加3、加5、加7。
生3：我發(fā)現(xiàn)它們的點(diǎn)子數(shù)能寫成11、22、33、44。
師：你們真了不起！這種形狀的點(diǎn)陣就是正方形點(diǎn)陣，大家不但用數(shù)字表示每個點(diǎn)陣的點(diǎn)數(shù)，還能用算式來表示這組點(diǎn)陣的規(guī)律。根據(jù)剛才發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，想一想：第五個點(diǎn)陣是什么樣子呢？自己畫出來，并用算式表示點(diǎn)數(shù)。
（學(xué)生活動：獨(dú)立畫出第五個55的點(diǎn)陣圖，全班交流。）
師：照這樣的規(guī)律繼續(xù)畫下去，第9個點(diǎn)陣的點(diǎn)數(shù)如何用算式來表示？第100個呢？第n個呢？在小組內(nèi)交流一下。
生：第九個點(diǎn)陣表示為99；
第100個點(diǎn)陣表示為100100；
第n個點(diǎn)陣就表示為nn。
�。ńY(jié)合發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生逐步完善自己的想法，建立總結(jié)正方形點(diǎn)陣規(guī)律的模型。）
師：那么你們覺得每個正方形點(diǎn)陣的點(diǎn)子總數(shù)與什么有關(guān)系？在小組內(nèi)討論交流。
生1：點(diǎn)子總數(shù)與正方形點(diǎn)陣每一排的點(diǎn)子數(shù)有關(guān)系。
生2：就是邊長乘邊長。
生3：還與是第幾個有關(guān)系，第一個就是11，第二個就是22，第三個就是33，一直這樣數(shù)下去。
�。▽W(xué)會用簡單的語言表述自己的想法，使得初步的形象感知得到提升）
師：說得真好！每個正方形點(diǎn)陣的點(diǎn)子總數(shù)可以看作是一個相同數(shù)字相乘的積，這個數(shù)字與點(diǎn)陣的序號有關(guān)，與每個正方形點(diǎn)陣每排的點(diǎn)子數(shù)也有關(guān)系。
2、同一個點(diǎn)陣的不同劃分中的規(guī)律。
師：剛才我們研究了一組正方形點(diǎn)陣中隱含的規(guī)律，那么對于同一個點(diǎn)陣來說，如果劃分的方法不同，所呈現(xiàn)的規(guī)律也就不同。
請大家仔細(xì)觀察第五個正方形點(diǎn)陣中點(diǎn)的劃分方法，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？與同桌交流你的想法。
生1：我發(fā)現(xiàn)都是用折線分開的。
生2：我發(fā)現(xiàn)從短的線開始，每條線內(nèi)的點(diǎn)分別是1、3、5、7、9。
生3：這個正方形點(diǎn)陣的點(diǎn)數(shù)用算式表示就是：1＋3＋5＋7＋9=25。
師：大家的發(fā)現(xiàn)真不少！那如果把每條線所包圍的點(diǎn)子數(shù)記下來，如何用算式來表示？
學(xué)生匯報：
第一條線： 1 = 1；
第二條線： 1＋3 = 4；
第三條線： 1＋3＋5 = 9；
第四條線： 1＋3＋5＋7 = 16；
第五條線： 1＋3＋5＋7＋9 = 25；
師：你們覺得這組算式有什么特點(diǎn)？
生1：一個算式比一個算式多加一個數(shù)。
生2：它們的得數(shù)正好是剛才那一排點(diǎn)陣的點(diǎn)子數(shù)。
生3：都是連續(xù)的奇數(shù)在相加。
師：是從幾開始的連續(xù)奇數(shù)呢？
生：是從1開始的連續(xù)奇數(shù)在相加。
師：如果按這樣的劃分方法劃分第六個正方形點(diǎn)陣，它的點(diǎn)數(shù)該如何用算式來表示？
生：1＋3＋5＋7＋9＋11 ＝ 36。
師：剛才我們是把這個55的正方形點(diǎn)陣用折線進(jìn)行了劃分，你們還有哪些不同的劃分的方法？如何用算式表示？在小組內(nèi)研究一下。
學(xué)生匯報：
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生2：還可以用豎線劃分，算式也是：5＋5＋5＋5＋5＋5 ＝ 25。
生3：這些都可以寫成是55 ＝ 25。
生4：我們的方法不一樣。我們是用斜線劃分的，用算式表示就是1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1。
師：這種劃分方法有新意！仔細(xì)觀察這個算式，你們發(fā)現(xiàn)了什么？
生1：算式里最大的數(shù)是5。
生2：這個算式是從1開始加到5再加回到1。
生3：這個算式的兩邊是對稱的，5在中間。
生4：這個點(diǎn)陣的點(diǎn)數(shù)是就中間那個數(shù)字5乘5的積。
師：照這樣的規(guī)律類推，第六個正方形點(diǎn)陣的點(diǎn)數(shù)如何表示？第9個呢？第n個呢？
生1：第六個點(diǎn)陣的點(diǎn)數(shù)是1＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋3＋2＋1。
生2：第九個點(diǎn)陣的點(diǎn)數(shù)是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1。
生3：第n個點(diǎn)陣的點(diǎn)數(shù)是，我說不完。
師：說不完，我們可以借助什么來表示？
生：用省略號，這樣表示：1＋2＋3＋＋n＋＋3＋2＋1。
師：你太聰明了，幫我們解決了一個大難題，謝謝你。
（在這里讓學(xué)生尋找正方形點(diǎn)陣的不同劃分方法，把教材分散處理的關(guān)于正方形點(diǎn)陣的不同劃分方法集中探究，便于學(xué)生思維的延續(xù)和拓展，不至于出現(xiàn)思維上的斷層。這樣設(shè)計既符合學(xué)生的探究心理和學(xué)習(xí)習(xí)慣，又給學(xué)生提供了自主探究的空間，體現(xiàn)了學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性，還用另一種方式解讀了練一練中的第一題。培養(yǎng)了學(xué)生從不同的角度去發(fā)現(xiàn)問題，總結(jié)概括規(guī)律的能力。）
三、延伸應(yīng)用，形成策略
師：除了我們剛才研究的正方形點(diǎn)陣，請大家猜猜看，還會有什么形狀的點(diǎn)陣呢？
生1：長方形點(diǎn)陣。
生2：三角形點(diǎn)陣。
生3：圓形點(diǎn)陣。
生4：橢圓形點(diǎn)陣。
師：請大家嘗試運(yùn)用前面學(xué)會的方法探究長方形點(diǎn)陣規(guī)律。在小組內(nèi)合作研究：如何用算式表示每個長方形點(diǎn)陣的點(diǎn)子數(shù)？
（學(xué)生分組活動）
學(xué)生匯報：
生：這四長方形點(diǎn)陣的可以用算式12；23；34；45來表示。
師：根據(jù)自己發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，請你獨(dú)立畫出第五個長方形點(diǎn)陣并用算式表示出點(diǎn)數(shù)。
�。▽W(xué)生獨(dú)立畫圖并寫出算式，互相交流。）
生：第六個長方形點(diǎn)陣的點(diǎn)子總數(shù)用算式表示是56。
師：你們覺得自己所寫的算式中的數(shù)字與圖形之間有什么關(guān)系？在小組內(nèi)討論交流。
生1：乘法算式中的第二個因數(shù)總是比第一個因數(shù)多1。
生2：第一個算式的后面一個數(shù)是第二個算式開頭的一個數(shù)，有點(diǎn)像詞語接龍。
生3：算式中的第一個因數(shù)是長方形點(diǎn)陣的豎排點(diǎn)數(shù)，第二個因數(shù)是長方形點(diǎn)陣的橫排點(diǎn)數(shù)。
師：這個算式與點(diǎn)陣的排列序號有關(guān)嗎？
生1：第一個點(diǎn)陣是12，第二個點(diǎn)陣是23，第三個點(diǎn)陣是34，是第幾個點(diǎn)陣就是用幾去乘。
生2：是用點(diǎn)陣的排列序號去乘比它大1的數(shù)。
師：照這樣繼續(xù)寫，你能寫出第n個長方形點(diǎn)陣的點(diǎn)數(shù)嗎？
生齊：n（n＋1）。
師：看來對于任何一個點(diǎn)陣，只要我們認(rèn)真觀察研究，總能發(fā)現(xiàn)其獨(dú)特的規(guī)律。下面請大家認(rèn)真觀察給出的四個三角形點(diǎn)陣的規(guī)律，快速畫出第五個三角形點(diǎn)陣并說出點(diǎn)數(shù)。
生：（舉起自己的點(diǎn)陣圖）有15個點(diǎn)。
師：對自己畫出的第五個三角形點(diǎn)陣進(jìn)行劃分，你能想到哪些不同的劃分方法？分別用算式表示點(diǎn)數(shù)。
�。▽W(xué)生活動）
全班交流：
生1：我是橫著分的，算式是1＋2＋3＋4＋5＝15。
生2：我是斜著劃分的，算式也是1＋2＋3＋4＋5＝15。
生3：我是豎著劃分的，算式跟他們一樣，也是1＋2＋3＋4＋5＝15，就是連續(xù)的自然數(shù)的和。
生4：我的是用折線劃分的，算式可以寫為1＋5＋9＝15，就是每次都多4個。
�。▽τ谇懊娴娜N劃分方法，都在我的預(yù)設(shè)之內(nèi)，學(xué)生到此，已經(jīng)很輕松地用語言表述出自己的想法：這樣的三角形點(diǎn)陣的點(diǎn)數(shù)是從1開始的連續(xù)自然數(shù)的和。而對于第四種劃分方法，是我沒有預(yù)想到的。有一個孩子卻用非常強(qiáng)烈地要求，表達(dá)了自己的這種劃分方法，并且說出了這個算式依次遞加4的規(guī)律。我真的很慶幸給了他一個機(jī)會，他用如此精彩的回答回報了我，也許課堂教學(xué)永遠(yuǎn)的魅力就在于這預(yù)設(shè)外的驚喜吧。）
師：同學(xué)們真的很了不起！真正具有未來數(shù)學(xué)家的風(fēng)范，用自己的聰明才智，發(fā)現(xiàn)并總結(jié)了各個不同的點(diǎn)陣圖中隱藏的規(guī)律。那么你們覺得應(yīng)該從哪些方面來探究點(diǎn)陣的規(guī)律呢？
生1：我會仔細(xì)看清點(diǎn)陣是什么形狀的。
生2：我覺得應(yīng)該數(shù)清每一行的點(diǎn)子數(shù)是多少。
生3：我認(rèn)為還要看清前后兩個點(diǎn)陣的變化。
�。ㄔ谶@里不需要學(xué)生說出多么專業(yè)的、深奧的數(shù)學(xué)方法，只是引導(dǎo)學(xué)生對自己探究性學(xué)習(xí)方法的一個總結(jié)，盡管語言可能不夠簡練，總結(jié)不夠到位，只要學(xué)生是用自己的語言在表述自己的想法，就是對學(xué)生思維訓(xùn)練層次的一個提升，一種飛越。）
聯(lián)系生活：
師：點(diǎn)陣的知識在生活中有著廣泛的應(yīng)用，比如北京奧運(yùn)會開幕式上的擊缶表演、太極表演等，都是把一個人看作了一點(diǎn)，來排列有規(guī)律的隊(duì)形。你還知道什么地方運(yùn)用了點(diǎn)陣的相關(guān)知識？
生1：五子棋。
生2：解放軍閱兵式的方隊(duì)。
生3：節(jié)日里擺放的花壇
生4：我們參加市八運(yùn)會排練的團(tuán)體操。
師：看來生活中用到點(diǎn)陣知識的地方還真不少。課后自己也設(shè)計一幅美麗的點(diǎn)陣圖，下節(jié)課我們一起展評。
�。ㄔ谶@里，把學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)延伸到課外，鏈接到學(xué)生已有的相關(guān)生活經(jīng)驗(yàn)，使得原本陌生的數(shù)學(xué)知識與學(xué)生的日常生活自然對接，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系。學(xué)生課后的自主設(shè)計作業(yè)，給了學(xué)生極大的創(chuàng)造空間，真正體現(xiàn)數(shù)學(xué)來源于生活，又應(yīng)用于生活。）
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