《勾股定理》教學(xué)設(shè)計(jì)范文
一、內(nèi)容和內(nèi)容解析
1.內(nèi)容
勾股定理的探究、證明及簡(jiǎn)單應(yīng)用.
2.內(nèi)容解析
勾股定理的內(nèi)容是：如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，那么
.它揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.在直角三角形中，已知任意兩邊長(zhǎng)，就可以求出第三邊長(zhǎng).勾股定理常用來(lái)求解線段長(zhǎng)度或距離問(wèn)題.
勾股定理的探究是從特殊的等腰直角三角形出發(fā)，到網(wǎng)格中的直角三角形，再到一般的直角三角形，體現(xiàn)了從特殊到一般的探探索、發(fā)現(xiàn)和證明的過(guò)程.證明勾股定理的關(guān)鍵是利用割補(bǔ)法求以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積，教學(xué)中要注意引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)探索去發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì)，提出一般的猜想，并獲得定理的證明.
我國(guó)古代在數(shù)學(xué)方面又許多杰出的研究成果，對(duì)于勾股定理的研究就是一個(gè)突出的例子.教學(xué)中可以介紹我國(guó)古代在勾股定理的證明和應(yīng)用方面取得的成就和作出的貢獻(xiàn)，以培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感;圍繞證明勾股定理的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和信心.
基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：探索并證明勾股定理.
二、目標(biāo)和目標(biāo)解析
1.教學(xué)目標(biāo)
(1)經(jīng)歷勾股定理的探究過(guò)程.了解關(guān)于勾股定理的文化歷史背景，通過(guò)對(duì)我國(guó)古代研究勾股定理的成就的介紹，培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感.
(2)能用勾股定理解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題.
2.目標(biāo)解析
(1)學(xué)生通過(guò)觀察直角三角形的三邊為邊長(zhǎng)的正方形面積之間的關(guān)系，歸納并合理地用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示勾股定理的結(jié)論.理解趙爽弦圖的意義及其證明勾股定理的思路，能通過(guò)割補(bǔ)法構(gòu)造圖形證明勾股定理.了解勾股定理相關(guān)的史料，知道我國(guó)古代在研究勾股定理上的杰出成就.
(2)學(xué)生能運(yùn)用勾股定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算，關(guān)鍵是已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)能求第三條邊的長(zhǎng)度.
三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析
勾股定理是反映直角三角形三邊關(guān)系的一個(gè)特殊的結(jié)論.在正方形網(wǎng)格中比較容易發(fā)現(xiàn)以等腰直角三角形三邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積關(guān)系，進(jìn)而得出三邊之間的關(guān)系.但要從等腰直角三角形過(guò)渡到網(wǎng)格中的一般直角三角形，提出合理的猜想，學(xué)生有較大困難.學(xué)生第一次嘗試用構(gòu)造圖形的方法來(lái)證明定理存在較大的困難，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是要想到用合理的割補(bǔ)方法求以斜邊為邊的正方形的面積.因此，在教學(xué)中需要先引導(dǎo)學(xué)生觀察網(wǎng)格背景下的正方形的面積關(guān)系，然后思考沒(méi)有網(wǎng)格背景下的正方形的面積關(guān)系，再將這種關(guān)系表示成邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，這有利于學(xué)生自然合理地發(fā)現(xiàn)和證明勾股定理.
本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：勾股定理的探究和證明.
四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)
1. 創(chuàng)設(shè)情境 復(fù)習(xí)引入
國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)是最高水平的全球性數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)術(shù)會(huì)議，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的“奧運(yùn)會(huì)”.2002年在北京召開(kāi)了第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì).右圖就是大會(huì)會(huì)徽的圖案.你見(jiàn)過(guò)這個(gè)圖案嗎?它由哪些我們學(xué)過(guò)的基本圖形組成?這個(gè)圖案有什么特別的意義?前面我們學(xué)習(xí)了有關(guān)三角形的知識(shí)，我們知道，三角形有三個(gè)角和三條邊.
問(wèn)題1 三個(gè)角的數(shù)量關(guān)系明確嗎?三條邊的數(shù)量關(guān)系明確嗎?
師生活動(dòng) 教師引導(dǎo)，學(xué)生回答。
【設(shè)計(jì)意圖】回顧三角形的內(nèi)角和是180°以及三角形任何兩邊的和大于第三邊，由三角形三邊的不等關(guān)系引導(dǎo)學(xué)生思考，三角形三邊之間是否存在等量關(guān)系.
我們學(xué)習(xí)過(guò)等腰三角形，知道等腰三角形是兩邊相等的特殊的三角形，它有許多特殊的性質(zhì).研究特例是數(shù)學(xué)研究的一個(gè)方向，直角三角形是有一個(gè)角為直角的特殊三角形，中國(guó)古代人把直角三角形中較短的直角邊叫做“勾”，較長(zhǎng)的直角邊叫做“股”，斜邊叫做“弦”.
直角三角形中最長(zhǎng)的邊是哪條邊?為什么?它們除了大小關(guān)系，有沒(méi)有更具體的數(shù)量關(guān)系呢?這就是我們要研究的問(wèn)題.
2.觀察思考，探究定理
問(wèn)題2 相傳2500多年前，畢達(dá)哥拉斯有一次在朋友家作客，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面圖案反映了直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系.三個(gè)正方形A，B，C的面積有什么關(guān)系?
畢達(dá)哥拉斯(公元前572---前492年),古希臘著名的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家。
師生活動(dòng) 學(xué)生觀察圖形，分析、思考其中隱含的規(guī)律.通過(guò)直接數(shù)等腰直角三角形的個(gè)數(shù)，或者用割補(bǔ)的方法將小正方形A，B中的等腰直角三角形補(bǔ)成一個(gè)大正方形，得出結(jié)論：小正方形A，B的面積之和等于大正方形C的面積.
追問(wèn) 由這三個(gè)正方形A，B，C的邊長(zhǎng)構(gòu)成的等腰直角三角形三條邊長(zhǎng)之間有怎樣的特殊關(guān)系?
師生活動(dòng) 教師引導(dǎo)學(xué)生直接由正方形的面積等于邊長(zhǎng)的平方，歸納出：等腰直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.
【設(shè)計(jì)意圖】從最特殊的直角三角形入手，通過(guò)觀察正方形面積關(guān)系得到三邊關(guān)系，對(duì)等腰直角三角形邊長(zhǎng)關(guān)系進(jìn)行初步的一般化.
問(wèn)題3 在網(wǎng)格中的一般的直角三角形，以它的三邊為邊長(zhǎng)的三個(gè)正方形A，B，C的面積是否也有類似的關(guān)系?
師生活動(dòng) 學(xué)生動(dòng)手計(jì)算，分別求出A，B，C的面積并尋求它們之間的關(guān)系.
追問(wèn) 正方形A，B，C所圍成的直角三角形三條邊之間有怎樣的關(guān)系?
師生活動(dòng) 學(xué)生獨(dú)立思考后分組討論，難點(diǎn)是求以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形面積，可由師生共同總結(jié)得出可以通過(guò)割、補(bǔ)兩種方法求出其面積，教師在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上歸納方法---割補(bǔ)法.可求得C的面積為13，教師引導(dǎo)學(xué)生直接由正方形的面積等于邊長(zhǎng)的平方歸納出：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.
【設(shè)計(jì)意圖】為方便計(jì)算，網(wǎng)格中的直角三角形邊長(zhǎng)通常設(shè)定為整數(shù)，進(jìn)一步體會(huì)面積割補(bǔ)法，為探究無(wú)網(wǎng)格背景下直角三角形三邊關(guān)系打下基礎(chǔ)，提供方法.
問(wèn)題4 通過(guò)前面的探究活動(dòng)，思考：直角三角形三邊之間應(yīng)該有什么關(guān)系?
師生活動(dòng) 教師引導(dǎo)學(xué)生表述：如果直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為，，斜邊長(zhǎng)為，那么
【設(shè)計(jì)意圖】在網(wǎng)格背景下通過(guò)觀察和分析得出了等腰直角三角形和一般的直角三角形的三邊關(guān)系后，猜想直角三角形的三邊關(guān)系是很容易的.
問(wèn)題5 以上直角三角形的邊長(zhǎng)都是具體的數(shù)值，一般情況下，如果直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，我們的猜想仍然成立嗎?
師生活動(dòng) 要求學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考，用a，b表示c.如圖，用“割”的方法可得;用“補(bǔ)”的方法可得.這兩個(gè)式子經(jīng)過(guò)整理都可以得到即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.中國(guó)人稱它為“勾股定理”，外國(guó)人稱它為“畢達(dá)哥拉斯定理”.
【設(shè)計(jì)意圖】從網(wǎng)格驗(yàn)證到脫離網(wǎng)格，通過(guò)割補(bǔ)構(gòu)造圖形和計(jì)算推導(dǎo)出一般結(jié)論.
問(wèn)題6 歷史上各國(guó)對(duì)勾股定理都有研究，下面我們看看我國(guó)古代的數(shù)學(xué)家趙爽對(duì)勾股定理的研究，并通過(guò)小組合作完成教科書(shū)拼圖法證明勾股定理.
師生活動(dòng) 教師展示“弦圖”，并介紹：這個(gè)圖案是公元3世紀(jì)三國(guó)時(shí)期的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，趙爽根據(jù)此圖指出：四個(gè)全等的直角三角形(朱實(shí))可以如圖圍成一個(gè)大正方形，中間部分是一個(gè)小正方形(黃實(shí)).我們剛才用割的方法證明使用的就是這個(gè)圖形，教師介紹勾股定理相關(guān)史料，勾股定理的證明方法據(jù)說(shuō)有400多種，有興趣的同學(xué)可以搜集研究一下.
【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)拼圖活動(dòng)，調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性，為學(xué)生提供從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，發(fā)展學(xué)生的形象思維，使學(xué)生對(duì)定理的理解更加深刻，體會(huì)數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的思想.通過(guò)對(duì)趙爽弦圖的介紹，了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)家對(duì)勾股定理的發(fā)現(xiàn)及證明所做出的貢獻(xiàn)，增強(qiáng)民族自豪感，通過(guò)了解勾股定理的證明方法，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心.
3.初步應(yīng)用，鞏固新知
例1 畫(huà)一個(gè)直角三角形
，
，它的兩直角邊分別是
，量一量它的斜邊
是多少厘米?算一算，你量的結(jié)果對(duì)嗎?
師生活動(dòng) 學(xué)生操作，教師個(gè)別指導(dǎo).
【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)運(yùn)算，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力并正確運(yùn)用勾股定理解決直角三角形的邊長(zhǎng)問(wèn)題.通過(guò)測(cè)量進(jìn)一步驗(yàn)證勾股定理所得結(jié)論的正確性.
例2 在直角三角形中，各邊的長(zhǎng)如圖，求出未知邊的長(zhǎng)度.
師生活動(dòng) 學(xué)生計(jì)算，教師檢驗(yàn).
【設(shè)計(jì)意圖】勾股定理是通過(guò)構(gòu)造圖形法通過(guò)面積關(guān)系進(jìn)行證明的.所以勾股定理本質(zhì)上是反映面積關(guān)系的.如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為
，
，斜邊長(zhǎng)為
，那么
.通過(guò)對(duì)等式變形，可以得出直角三角形三邊之間的關(guān)系：
;
;
.在直角三角形中，已知兩邊，求第三邊，應(yīng)用勾股定理求解，也可建立方程解決問(wèn)題，滲透方程思想.
例3 螞蟻沿圖中的折線從A點(diǎn)爬到D點(diǎn)，一共爬了多少厘米?
師生活動(dòng) 學(xué)生觀察、思考、計(jì)算，教師檢驗(yàn).
【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)計(jì)實(shí)際問(wèn)題背景，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.
4.歸納小結(jié)，反思提高
師生共同回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問(wèn)題：
(1)勾股定理總結(jié)的是什么數(shù)量關(guān)系?
(2)勾股定理有什么作用?
(3)閱讀教科書(shū)，總結(jié)教科書(shū)提供的勾股定理的其他證明方法.了解中國(guó)人的偉大和外國(guó)人的智慧.
【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生從不同角度談本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，在學(xué)習(xí)過(guò)程中感受到中國(guó)數(shù)學(xué)文化博大精深和數(shù)學(xué)的美，感悟數(shù)形結(jié)合的思想，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信.
5.布置作業(yè)
(1)教科書(shū)第28頁(yè)第1題;
(2)通過(guò)互聯(lián)網(wǎng)收集定理的多種證法.自主探究定理的證明.
五、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)
1.直角三角形的周長(zhǎng)為12，斜邊長(zhǎng)為5，其面積為( )
A.12 B.10 C.8 D.6
【設(shè)計(jì)意圖】勾股定理的簡(jiǎn)單計(jì)算，結(jié)合三角形的周長(zhǎng)和面積知識(shí)進(jìn)行求解.
2.等邊三角形的高是h，則它的面積是( )
A.
B.
C.
D.
【設(shè)計(jì)意圖】勾股定理的應(yīng)用和三角形的面積公式.
3.直角三角形
中，
，
，求
和
.
【設(shè)計(jì)意圖】考查學(xué)生運(yùn)用勾股定理的能力.
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