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黃金分割中的數(shù)學(xué)文化
摘要：“數(shù)學(xué)是人類(lèi)的一種文化，它的內(nèi)容、思想、方法和語(yǔ)言是現(xiàn)代文明的重要組成部分�！睌�(shù)學(xué)中蘊(yùn)涵的文化價(jià)值是客觀(guān)存在的，數(shù)學(xué)的本質(zhì)是一種文化，數(shù)學(xué)不僅閃爍著理性智慧的光芒，更有藝術(shù)審美的享受以及厚重的文化意向。“黃金分割”被譽(yù)為數(shù)學(xué)的兩大寶藏之一，它來(lái)源于實(shí)際生活，并在實(shí)際生活中得到應(yīng)用，只要留心，到處都可發(fā)現(xiàn)這位美的“使者”的足跡。黃金分割對(duì)我們的審美、思維方式、價(jià)值觀(guān)念以及世界觀(guān)等方面將產(chǎn)生重要的影響。
關(guān)鍵詞：文化價(jià)值黃金分割數(shù)學(xué)美思想方法
黃金分割又稱(chēng)黃金律，是指事物各部分間一定的數(shù)學(xué)比例關(guān)系，即將整體一分為二，較大部分與較小部分之比等于整體與較大部分之比，其比值為1∶0.618或1.618∶1，即長(zhǎng)段為全段的0.618。0.618被公認(rèn)為最具有審美意義的比例數(shù)字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被稱(chēng)為黃金分割。
有趣的是，這個(gè)數(shù)字在自然界和人們生活中到處可見(jiàn)：人們的肚臍是人體總長(zhǎng)的黃金分割點(diǎn)，人的膝蓋是肚臍到腳跟的黃金分割點(diǎn)。大多數(shù)門(mén)窗的寬長(zhǎng)之比也是0.618；有些植莖上，兩張相鄰葉柄的夾角是137度28'，這恰好是把圓周分成1:0.618的兩條半徑的夾角。據(jù)研究發(fā)現(xiàn)，這種角度對(duì)植物通風(fēng)和采光效果最佳。
建筑師們對(duì)數(shù)學(xué)0.618特別偏愛(ài)，無(wú)論是古埃及的金字塔，還是巴黎的圣母院，或者是近世紀(jì)的法國(guó)埃菲爾鐵塔，都有與0.618有關(guān)的數(shù)據(jù)。人們還發(fā)現(xiàn)，一些名畫(huà)、雕塑、攝影作品的主題，大多在畫(huà)面的0.618處。藝術(shù)家們認(rèn)為弦樂(lè)器的琴馬放在琴弦的0.618處，能使琴聲更加柔和甜美。
一、黃金分割的起源
人們認(rèn)為，黃金分割作圖與正五邊形、正十邊形和五角星形的作圖有關(guān)——特別是由五角星形作圖的需要引起的。五角星形是一種很耐人尋味的圖案，世界許多國(guó)家國(guó)旗上的“星”都畫(huà)成五角形�，F(xiàn)今有將近40個(gè)國(guó)家（如中國(guó)、美國(guó)、朝鮮、土耳其、古巴等等）的國(guó)旗上有五角星。為什么是五角而不是其他數(shù)目的角？也許是古代留下來(lái)的習(xí)慣。
五角星形的起源甚早，現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)最早的五角星形圖案是在幼發(fā)拉底河下游馬魯克地方（現(xiàn)屬伊拉克）發(fā)現(xiàn)的一塊公元前3200年左右制成的泥板上。
古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派用五角星形作為他們的徽章或標(biāo)志，稱(chēng)之為“健康”�？梢哉J(rèn)為畢達(dá)哥拉斯已熟知五角星形的作法，由此可知他已掌握了黃金分
割的方法。
現(xiàn)在人一般認(rèn)為，黃金分割是由公元前6世紀(jì)的畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)的。系統(tǒng)論述黃金分割的最早記載是歐幾里得的《幾何原本》，在該書(shū)第四卷中記述了用黃金分割作五邊形、十邊形的的問(wèn)題，在第二卷第11節(jié)中詳細(xì)講了黃金分割的計(jì)算方法，其中寫(xiě)道：“以點(diǎn)h按中末比截線(xiàn)段ab，使ab∶ah＝ah∶hb”將這一式子計(jì)算一下：設(shè)ab＝1，ah=x，則上面等式18，點(diǎn)h是ab的黃金分割點(diǎn)，0.618叫做“黃金數(shù)”。在《幾何原本》中把它稱(chēng)為“中末比”。
直到文藝復(fù)興時(shí)期，人們重新發(fā)現(xiàn)了古希臘數(shù)學(xué)，并且發(fā)現(xiàn)這種比例廣泛存在于許多圖形的自然結(jié)構(gòu)之中，因而高度推崇中末比的奇妙性質(zhì)和用途。意大利數(shù)學(xué)家帕喬利稱(chēng)中末比為“神圣比例”；德國(guó)天文學(xué)家開(kāi)普勒稱(chēng)中末比為“比例分割”，并認(rèn)為勾股定理“好比黃金”，中末比“堪稱(chēng)珠玉”。
最早在著作中使用“黃金分割”這一名稱(chēng)的是德國(guó)數(shù)學(xué)家m·歐姆，他是發(fā)現(xiàn)電學(xué)的歐姆定律的g·s·歐姆的弟弟。他在自己的著作《純粹初等數(shù)學(xué)》（第二版，1835）中用了德文字：“dergoldeneschnitt（黃金分割）”來(lái)表述中末
比，以后，這一稱(chēng)呼才逐漸流行起來(lái)。
二、生活中的黃金分割
0.618，一個(gè)極為迷人而神秘的數(shù)字，而且它還有著一個(gè)很動(dòng)聽(tīng)的名字——黃金分割律，它是古希臘著名哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯于2500多年前發(fā)現(xiàn)的。古往今來(lái)，這個(gè)數(shù)字一直被后人奉為科學(xué)和美學(xué)的金科玉律。在藝術(shù)史上，幾乎所有的杰出作品都不謀而合地驗(yàn)證了這一著名的黃金分割律，無(wú)論是古希臘巴特農(nóng)神廟，還是中國(guó)古代的兵馬俑，它們的垂直線(xiàn)與水平線(xiàn)之間竟然完全符合1比0.618的比例。
科學(xué)家和藝術(shù)家普遍認(rèn)為，黃金律是建筑藝術(shù)必須遵循的規(guī)律。在建筑造型上，人們?cè)诟咚狞S金分割點(diǎn)處建樓閣或設(shè)計(jì)平臺(tái)，便能使平直單調(diào)的塔身變得豐富多彩；而在摩天大樓的黃金分割處布置腰線(xiàn)或裝飾物，則可使整個(gè)樓群顯得雄偉雅致。古代雅典的巴特農(nóng)神殿，法國(guó)的巴黎圣母院，當(dāng)今世界最高建筑之一的加拿大多倫多電視塔，舉世聞名的法國(guó)巴黎埃菲爾鐵塔，都是根據(jù)黃金分割的原則來(lái)建造的。
除了國(guó)外著名的巴特農(nóng)神殿、巴黎圣母院、多倫多電視塔、巴特農(nóng)神殿、埃菲爾鐵塔具有黃金分割外，位于上海黃浦江畔的東方明珠塔同樣有，東方明珠塔是亞洲第一，世界第三高塔，它的塔身竟高達(dá)462.85米，仿佛一把刺天長(zhǎng)劍，直沖云霄。要建造這樣高而瘦長(zhǎng)搭塔身，在造型上難免有些單調(diào)，然而設(shè)計(jì)師巧妙地在塔身上裝置了晶瑩耀眼的上球體、下球體和太空艙，它既可供游人登高俯瞰城市景色，又使筆直的塔身有了曲線(xiàn)變化，更妙的是，設(shè)計(jì)師有意將上球體選在295米之間的位置，這個(gè)位置恰好在塔身5比8的地方，這0.618的比值，使塔身顯得非常協(xié)調(diào)、美觀(guān)。
在日常生活中，最和諧悅目的矩形，如電視屏幕、寫(xiě)字臺(tái)面、書(shū)籍、衣服、門(mén)窗等，其短邊與長(zhǎng)邊之比為0.618，你會(huì)因此比例協(xié)調(diào)而賞心悅目。甚至連火柴盒、國(guó)旗的長(zhǎng)寬比例設(shè)計(jì)，都恪守0.618比值。在音樂(lè)會(huì)上，報(bào)幕員在舞臺(tái)上的最佳位置，是舞臺(tái)寬度的0.618之處；二胡要獲得最佳音色。最有趣的是，在消費(fèi)領(lǐng)域中也可妙用0.618這個(gè)“黃金數(shù)”，獲得“物美價(jià)廉”的效果。據(jù)專(zhuān)家介紹，在同一商品有多個(gè)品種、多種價(jià)值情況下，將高檔價(jià)格減去低檔價(jià)格再乘以0.618，即為挑選商品的首選價(jià)格。
體型的標(biāo)準(zhǔn)尺度，以古希臘的藝術(shù)珍品“金星女神”為模特兒，具體標(biāo)準(zhǔn)是以肚臍眼為界，向上到頭頂?shù)拈L(zhǎng)度是整個(gè)身長(zhǎng)的0.382倍；向下到腳心的長(zhǎng)度是整個(gè)身長(zhǎng)的0.618倍。
人體黃金分割因素包括4個(gè)方面，即18個(gè)“黃金點(diǎn)”，如臍為頭頂至腳底之分割點(diǎn)、喉結(jié)為頭頂至臍分割點(diǎn)、眉間點(diǎn)為發(fā)緣點(diǎn)至頦下的分割點(diǎn)等；15個(gè)“黃金矩形”，如軀干輪廓、頭部輪廓、面部輪廓、口唇輪廓等；6個(gè)“黃金指數(shù)”，如鼻唇指數(shù)是指鼻翼寬度與口裂長(zhǎng)之比、唇目指數(shù)是指口裂長(zhǎng)度與兩眼外眥間距之比、唇高指數(shù)是指面部中線(xiàn)上下唇紅高度之比等；3個(gè)“黃金三角”，如外鼻正面觀(guān)三角、外鼻側(cè)面觀(guān)三角、鼻根點(diǎn)至兩側(cè)口角點(diǎn)組成的三角等。除此之外，近年國(guó)內(nèi)學(xué)者陸續(xù)發(fā)現(xiàn)有關(guān)的“黃金分割”數(shù)據(jù)，如前牙的長(zhǎng)寬比、眉間距與內(nèi)眥間距之比等，均接近“黃金分割”的比例關(guān)系。專(zhuān)家們認(rèn)為，這些數(shù)據(jù)的陸續(xù)發(fā)現(xiàn)不僅表現(xiàn)人體是世界上最美的物體，而且為美容醫(yī)學(xué)的發(fā)展，為臨床進(jìn)行人體美和容貌美的創(chuàng)造和修復(fù)提供了科學(xué)的依據(jù)。古希臘人以為，美是神的語(yǔ)言。他們找到了一條數(shù)學(xué)證據(jù)，宣稱(chēng)黃金分割是上帝的尺寸。幾何學(xué)天才歐幾里德更進(jìn)一步：他發(fā)現(xiàn)大自然美麗的奧妙在于巧妙和諧的數(shù)學(xué)比例大多接近1比0.618。在夏季，人們格外留戀春天的感覺(jué)，這種體驗(yàn)恐伯每個(gè)人都有，也不足為奇�？墒悄阒绬�?人在春季感到舒暢，那是因?yàn)檫@時(shí)的環(huán)境溫度正好在22至24攝氏度之間，而這種氣溫與人的正常體溫37攝氏度正呈現(xiàn)微妙之處：人的正常體溫37攝氏度與0．618的乘積為22．8攝氏度，人在這一環(huán)境溫度中，機(jī)體的新陳代謝、生理活動(dòng)均處于最佳狀態(tài)。
三、黃金分割法的啟示
隨著社會(huì)的發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)黃金分割在自然和社會(huì)中有著極其廣泛的應(yīng)用。例如，優(yōu)選法中有兩種方法與黃金分割就有關(guān)。其一就是本文開(kāi)始時(shí)指出的“0．618法”，它是美國(guó)數(shù)學(xué)家基弗于1953年提出的一種優(yōu)選法，從1970年開(kāi)始在我國(guó)推廣，取得很好的經(jīng)濟(jì)效益。
在現(xiàn)代最優(yōu)化理論中，它能使我們用較少的實(shí)驗(yàn)找到合適的工藝條件和合理的配方。雖然黃金分割數(shù)是一個(gè)無(wú)理數(shù)，0．168是它的一個(gè)近似值，但在實(shí)際中使用已足夠精確。其二是分?jǐn)?shù)法，它取的也是黃金分割數(shù)的近似值，但不是0．618而是黃金分割數(shù)的連分?jǐn)?shù)展開(kāi)式的漸近分?jǐn)?shù)，也就是采用某一個(gè)“斐波那契數(shù)列”分?jǐn)?shù)。黃金分割運(yùn)用也表現(xiàn)出數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)規(guī)律。它表明研究和發(fā)展數(shù)學(xué)理論是十分重要的。純理論的發(fā)展對(duì)實(shí)踐的作用也許不是直接的，但它所揭示的自然規(guī)律必將指導(dǎo)人們的社會(huì)實(shí)踐。因此一方面我們遇到問(wèn)題應(yīng)該尋找數(shù)學(xué)方法解決，另一方面，我們也應(yīng)為純數(shù)學(xué)理論開(kāi)辟應(yīng)用領(lǐng)域。
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