高考數(shù)學(xué)必備方差公式

　　高考數(shù)學(xué)必備方差公式

　　一.方差的概念與計算公式

　　例1 兩人的5次測驗成績?nèi)缦拢篨： 50，100，100，60，50 E(X )=72;Y： 73， 70， 75，72，70 E(Y )=72。

　　平均成績相同，但X 不穩(wěn)定，對平均值的偏離大。方差描述隨機變量對于數(shù)學(xué)期望的偏離程度。單個偏離是消除符號影響方差即偏離平方的均值，記為D(X )：直接計算公式分離散型和連續(xù)型，具體為：

　　這里D(X) 是一個數(shù)。推導(dǎo)另一種計算公式

　　得到：“方差等于平方的均值減去均值的平方”。

　　其中，分別為離散型和連續(xù)型計算公式。 稱為標準差或均方差，方差描述波動

　　二.方差的性質(zhì)

　　1.設(shè)C為常數(shù)，則D(C) = 0(常數(shù)無波動);

　　2. D(CX )=C2 D(X ) (常數(shù)平方提取);

　　證：特別地 D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )(方差無負值)

　　3.若X 、Y 相互獨立，則

　　證：記則前面兩項恰為 D(X )和D(Y )，第三項展開后為當X、Y 相互獨立時，，故第三項為零。特別地獨立前提的逐項求和，可推廣到有限項。

　　方差公式：

　　平均數(shù)：M=(x1+x2+x3+…+xn)/n (n表示這組數(shù)據(jù)個數(shù)，x1、x2、x3……xn表示這組數(shù)據(jù)具體數(shù)值)

　　方差公式：S=〈(M-x1)+(M-x2)+(M-x3)+…+(M-xn)〉?n

　　三.常用分布的方差

　　1.兩點分布

　　2.二項分布

　　X ~ B ( n, p )引入隨機變量 Xi (第i次試驗中A 出現(xiàn)的次數(shù)，服從兩點分布)

　　3.泊松分布(推導(dǎo)略)

　　4.均勻分布

　　另一計算過程為

　　5.指數(shù)分布(推導(dǎo)略)

　　6.正態(tài)分布(推導(dǎo)略)

　　7.t分布 :其中X~T(n)，E(X)=0;D(X)=n/(n-2);

　　8.F分布：其中X~F(m,n),E(X)=n/(n-2);

　　~正態(tài)分布的后一參數(shù)反映它與均值 的偏離程度，即波動程度(隨機波動)，這與圖形的特征是相符的。

　　例2 求上節(jié)例2的方差。

　　解 根據(jù)上節(jié)例2給出的'分布律，計算得到

　　工人乙廢品數(shù)少，波動也小，穩(wěn)定性好。

　　方差的定義：

　　設(shè)一組數(shù)據(jù)x1,x2,x3······xn中，各組數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)x(拔)的差的平方分別是(x1-x拔)，(x2-x拔)······(xn-x拔)，那么我們用他們的平均數(shù)s2=1/n【(x1-x拔)+(x2-x拔)+·····(xn-x拔)】來衡量這組數(shù)據(jù)的波動大小，并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差。