有關函數(shù)概念的發(fā)展歷史

　　1.早期函數(shù)概念幾何觀念下的函數(shù)

　　十七世紀伽俐略(G.Galileo，意，1564-1642)在《兩門新科學》一書中，幾乎全部包含函數(shù)或稱為變量關系的這一概念，用文字和比例的語言表達函數(shù)的關系。1673年前后笛卡爾(Descartes，法，1596-1650)在他的解析幾何中，已注意到一個變量對另一個變量的依賴關系，但因當時尚未意識到要提煉函數(shù)概念，因此直到17世紀后期牛頓、萊布尼茲建立微積分時還沒有人明確函數(shù)的一般意義，大部分函數(shù)是被當作曲線來研究的。

　　1673年，萊布尼茲首次使用function(函數(shù))表示冪，后來他用該詞表示曲線上點的橫坐標、縱坐標、切線長等曲線上點的有關幾何量。與此同時，牛頓在微積分的討論中，使用 流量來表示變量間的關系。

　　2.十八世紀函數(shù)概念──代數(shù)觀念下的函數(shù)

　　1718年約翰柏努利(Johann Bernoulli ，瑞，1667-1748)在萊布尼茲函數(shù)概念的基礎上對函數(shù)概念進行了定義：由任一變量和常數(shù)的任一形式所構成的量。他的意思是凡變量x和常量構成的式子都叫做x的函數(shù)，并強調函數(shù)要用公式來表示。

　　1755，歐拉(L.Euler，瑞士，1707-1783) 把函數(shù)定義為如果某些變量，以某一種方式依賴于另一些變量，即當后面這些變量變化時，前面這些變量也隨著變化，我們把前面的變量稱為后面變量的函數(shù)。

　　18世紀中葉歐拉(L.Euler，瑞，1707-1783)給出了定義：一個變量的函數(shù)是由這個變量和一些數(shù)即常數(shù)以任何方式組成的解析表達式。他把約翰貝努利給出的函數(shù)定義稱為解析函數(shù)，并進一步把它區(qū)分為代數(shù)函數(shù)和超越函數(shù)，還考慮了隨意函數(shù)。不難看出，歐拉給出的函數(shù)定義比約翰貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義。

　　3.十九世紀函數(shù)概念──對應關系下的函數(shù)

　　1821年，柯西(Cauchy，法，1789-1857) 從定義變量起給出了定義：在某些變數(shù)間存在著一定的關系，當一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨著而確定時，則將最初的變數(shù)叫自變量，其他各變數(shù)叫做函數(shù)。在柯西的定義中，首先出現(xiàn)了自變量一詞，同時指出對函數(shù)來說不一定要有解析表達式。不過他仍然認為函數(shù)關系可以用多個解析式來表示，這是一個很大的局限。

　　1822年傅里葉(Fourier，法國，17681830)發(fā)現(xiàn)某些函數(shù)也已用曲線表示，也可以用一個式子表示，或用多個式子表示，從而結束了函數(shù)概念是否以唯一一個式子表示的爭論，把對函數(shù)的認識又推進了一個新層次。

　　1837年狄利克雷(Dirichlet，德，1805-1859) 突破了這一局限，認為怎樣去建立x與y之間的關系無關緊要，他拓廣了函數(shù)概念，指出：對于在某區(qū)間上的每一個確定的x值，y都有一個確定的值，那么y叫做x的函數(shù)。這個定義避免了函數(shù)定義中對依賴關系的描述，以清晰的方式被所有數(shù)學家接受。這就是人們常說的經(jīng)典函數(shù)定義。

　　等到康托(Cantor，德，1845-1918)創(chuàng)立的集合論在數(shù)學中占有重要地位之后，維布倫(Veblen，美，1880-1960)用集合和對應的概念給出了近代函數(shù)定義，通過集合概念把函數(shù)的對應關系、定義域及值域進一步具體化了，且打破了變量是數(shù)的極限，變量可以是數(shù)，也可以是其它對象。

　　4.現(xiàn)代函數(shù)概念──集合論下的函數(shù)

　　1914年豪斯道夫(F.Hausdorff)在《集合論綱要》中用不明確的概念序偶來定義函數(shù)，其避開了意義不明確的變量、對應概念。庫拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念來定義序偶使豪斯道夫的定義很嚴謹了。

　　1930 年新的現(xiàn)代函數(shù)定義為若對集合M的任意元素x，總有集合N確定的元素y與之對應，則稱在集合M上定義一個函數(shù)，記為y=f(x)。元素x稱為自變元，元素y稱為因變元。

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