數(shù)量關(guān)系--牛吃草問(wèn)題

牛吃草問(wèn)題又稱為消長(zhǎng)問(wèn)題或牛頓問(wèn)題

是17世紀(jì)英國(guó)偉大的科學(xué)家牛頓提出來(lái)的。典型牛吃草問(wèn)題的條件是假設(shè)草的生長(zhǎng)速度固定不變，不同頭數(shù)的牛吃光同一片草地所需的天數(shù)各不相同，求若干頭牛吃這片草地可以吃多少天。由于吃的天數(shù)不同，草又是天天在生長(zhǎng)的，所以草的存量隨牛吃的天數(shù)不斷地變化。

解決牛吃草問(wèn)題常用到四個(gè)基本的公式，分別是

(1)草的生長(zhǎng)速度=(對(duì)應(yīng)的牛頭數(shù)×吃的較多天數(shù)-對(duì)應(yīng)的牛頭數(shù)×吃的較少天數(shù))÷(吃的較多天數(shù)-吃的較少天數(shù));

(2)原有草量=牛頭數(shù)×吃的天數(shù)-草的生長(zhǎng)速度×吃的天數(shù);

(3)吃的天數(shù)=原有草量÷(牛頭數(shù)-草的生長(zhǎng)速度);

(4)牛頭數(shù)=原有草量÷吃的天數(shù)+草的生長(zhǎng)速度。

這四個(gè)公式是解決消長(zhǎng)問(wèn)題的基礎(chǔ)。

由于牛在吃草的過(guò)程中，草是不斷生長(zhǎng)的，所以解決消長(zhǎng)問(wèn)題的重點(diǎn)是要想辦法從變化中找到不變量。牧場(chǎng)上原有的草是不變的，新長(zhǎng)的草雖然在變化，但由于是勻速生長(zhǎng)，所以每天新長(zhǎng)出的草量應(yīng)該是不變的。正是由于這個(gè)不變量，才能夠?qū)С錾厦娴乃膫�(gè)基本公式。

牛吃草問(wèn)題經(jīng)常給出不同頭數(shù)的牛吃同一片次的草，這塊地既有原有的草，又有每天新長(zhǎng)出的草。由于吃草的牛頭數(shù)不同，求若干頭牛吃的這片地的草可以吃多少天。

解題關(guān)鍵是弄清楚已知條件，進(jìn)行對(duì)比分析，從而求出每日新長(zhǎng)草的數(shù)量，再求出草地里原有草的數(shù)量，進(jìn)而解答題總所求的問(wèn)題。

這類問(wèn)題的基本數(shù)量關(guān)系是：

1.吃的天數(shù)=原有草量÷(牛頭數(shù)-草的生長(zhǎng)速度)

2.牛的頭數(shù)×吃草天數(shù)-每天新長(zhǎng)量×吃草天數(shù)=草地原有的草。

舉個(gè)簡(jiǎn)單的例子

牧場(chǎng)上一片青草，每天牧草都勻速生長(zhǎng)。這片牧草可供10頭牛吃20天，或者可供15頭牛吃10天。問(wèn)：可供25頭牛吃幾天?

分析與解：這類題難就難在牧場(chǎng)上草的數(shù)量每天都在發(fā)生變化，我們要想辦法從變化當(dāng)中找到不變的量�？偛萘靠梢苑譃槟翀�(chǎng)上原有的草和新生長(zhǎng)出來(lái)的草兩部分。牧場(chǎng)上原有的草是不變的，新長(zhǎng)出的草雖然在變化，因?yàn)槭莿蛩偕�長(zhǎng)，所以這片草地每天新長(zhǎng)出的草的數(shù)量相同，即每天新長(zhǎng)出的草是不變的。下面，就要設(shè)法計(jì)算出原有的草量和每天新長(zhǎng)出的草量這兩個(gè)不變量。

設(shè)1頭牛一天吃的草為1份。那么，10頭牛20天吃200份，草被吃完;15頭牛10天吃150份，草也被吃完。前者的總草量是200份，后者的總草量是150份，前者是原有的草加 20天新長(zhǎng)出的草，后者是原有的草加10天新長(zhǎng)出的草。

200-150=50(份)，2010=10(天)，

說(shuō)明牧場(chǎng)10天長(zhǎng)草50份，1天長(zhǎng)草5份。也就是說(shuō)，5頭牛專吃新長(zhǎng)出來(lái)的草剛好吃完，5頭牛以外的牛吃的草就是牧場(chǎng)上原有的草。由此得出，牧場(chǎng)上原有草

(l05)× 20=100(份)或(155)×10=100(份)。

已經(jīng)知道原有草100份，每天新長(zhǎng)出草5份。當(dāng)有25頭牛時(shí)，其中的5頭專吃新長(zhǎng)出來(lái)的草，剩下的20頭吃原有的草，吃完需100÷20=5(天)。

所以，這片草地可供25頭牛吃5天。

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