關(guān)于數(shù)論問(wèn)題試題分析

　　1、下列每個(gè)算式中，最少有一個(gè)奇數(shù)，一個(gè)偶數(shù)，那么這12個(gè)整數(shù)中，至少有幾個(gè)偶數(shù)?

　　□+□=□ □-□=□ □×□=□ □÷□=□

　　2、任意取出1234個(gè)連續(xù)自然數(shù)，它們的總和是奇數(shù)還是偶數(shù)?

　　3、一串?dāng)?shù)排成一行，它們的規(guī)律是：前兩個(gè)數(shù)都是1，從第三個(gè)數(shù)開(kāi)始，每一個(gè)數(shù)都是前兩個(gè)數(shù)的和。如：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…

　　試問(wèn)：這串?dāng)?shù)的前100個(gè)數(shù)(包括第100個(gè)數(shù))中，有多少個(gè)偶數(shù)?

　　4、能不能將1010寫(xiě)成10個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和?如果能，把它寫(xiě)出來(lái);如果不能，說(shuō)明理由。

　　5、能否將1至25這25個(gè)自然數(shù)分成若干組，使得每一組中的最大數(shù)都等于組內(nèi)其余各數(shù)的和?

　　6、在象棋比賽中，勝者得1分，敗者扣1分，若為平局，則雙方各得0分。今有若干個(gè)學(xué)生進(jìn)行比賽，每?jī)扇硕假愐痪帧，F(xiàn)知，其中有一位學(xué)生共得7分，另一位學(xué)生共得20分，試說(shuō)明，在比賽過(guò)程中至少有過(guò)一次平局。

　　7、在黑板上寫(xiě)上1，2，…，909，只要黑板上還有兩個(gè)或兩個(gè)以上的數(shù)就擦去其中的任意兩個(gè)數(shù)a，b，并寫(xiě)上a-b(其中a≥b)。問(wèn)：最后黑板上剩下的是奇數(shù)還是偶數(shù)?

　　在整數(shù)中，有用2個(gè)以上的連續(xù)自然數(shù)的和來(lái)表達(dá)一個(gè)整數(shù)的方法.例如9：9=4+5，9=2+3+4，9有兩個(gè)用2個(gè)以上連續(xù)自然數(shù)的和來(lái)表達(dá)它的方法.

　　(1)請(qǐng)寫(xiě)出只有3種這樣的表示方法的最小自然數(shù).

　　(2)請(qǐng)寫(xiě)出只有6種這樣的表示方法的最小自然數(shù).

　　分析：(1)關(guān)于某整數(shù)，它的“奇數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)減1“，就是用連續(xù)的整數(shù)的和的形式來(lái)表達(dá)種數(shù);根據(jù)(1)知道，有3種表達(dá)方法，于是奇約數(shù)的個(gè)數(shù)為3+1=4，對(duì)4分解質(zhì)因數(shù)4=2×2，最小的15(1、3、5、15);有連續(xù)的2、3、5個(gè)數(shù)相加;7+8;4+5+6;1+2+3+4+5;

　　(2)有6種表示方法，于是奇數(shù)約數(shù)的個(gè)數(shù)為6+1=7，最小為729(1、3、9、27、81、243、729)，有連續(xù)的2，3、6、9、10、27個(gè)數(shù)相加：

　　364+365;242+243+244;119+120+…+124;77+78+79+…+85;36+37+…+45;14+15+…+40.

　　解答：解：根據(jù)(1)知道，有3種表達(dá)方法，于是奇約數(shù)的個(gè)數(shù)為3+1=4，對(duì)4分解質(zhì)因數(shù)4=2×2，最小的15(1、3、5、15);

　　有連續(xù)的2、3、5個(gè)數(shù)相加;7+8;4+5+6;1+2+3+4+5;

　　根據(jù)(2)知道，有6種表示方法，于是奇數(shù)約數(shù)的個(gè)數(shù)為6+1=7，最小為729(1、3、9、27、81、243、729)，

　　有連續(xù)的2，3、6、9、10、27個(gè)數(shù)相加：

　　364+365;242+243+244;119+120+…+124;77+78+79+…+85;36+37+…+45;14+15+…+40

　　8、設(shè)a1，a2，…，a64是自然數(shù)1，2，…，64的任一排列，令b1=a1-a2，b2=a3-a4，…，b32=a63-a64;c1=b1-b2，c2=b3-b4，…，c16=b31-b32;d1=c1-c2，d2=c3-c4，…，d8=c15-c16;……

　　這樣一直做下去，最后得到的一個(gè)整數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)?

　　1、至少有6個(gè)偶數(shù)。

　　2、奇數(shù)。解：1234÷2=617，所以在任取的1234個(gè)連續(xù)自然數(shù)中，奇數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和是奇數(shù)，所以它們的總和是奇數(shù)。

　　3、33。提示：這串?dāng)?shù)排列的規(guī)律是以“奇奇偶”循環(huán)。

　　4、不能。

　　如果1010能表示成10個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和，那么中間2個(gè)數(shù)的和應(yīng)當(dāng)是1010÷5=202。但中間2個(gè)數(shù)是連續(xù)自然數(shù)，它們的和應(yīng)是奇數(shù)，不能等于偶數(shù)202。所以，1010不能寫(xiě)成10個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和。

　　5、不能。提示：仿例3。

　　6、證：設(shè)得7分的學(xué)生勝了x1局，敗了y1局，得20分的學(xué)生勝了x2局，敗了y2局。由得分情況知：

　　x1-y1=7，x2-y2=20。

　　如果比賽過(guò)程中無(wú)平局出現(xiàn)，那么由每人比賽的場(chǎng)次相同可得x1+y1=x2+y2，即x1+y1+x2+y2是偶數(shù)。另一方面，由x1-y1=7知x1+y2為奇數(shù)，由x2-y2=20知x2+y2為偶數(shù)，推知x1+y1+x2+y2為奇數(shù)。這便出現(xiàn)矛盾，所以比賽過(guò)程中至少有一次平局。

　　7、奇數(shù)。解：黑板上所有數(shù)的和S=1+2+…+909是一個(gè)奇數(shù)，每操作一次，總和S減少了a+b-(a-b)=2b，這是一個(gè)偶數(shù)，說(shuō)明總和S的奇偶性不變。由于開(kāi)始時(shí)S是奇數(shù)，因此終止時(shí)S仍是一個(gè)奇數(shù)。

　　8、偶數(shù)。

　　解：我們知道，對(duì)于整數(shù)a與b，a+b與a-b的奇偶性相同，由此可知，上述計(jì)算的第二步中，32個(gè)數(shù)。

　　a1-a2，a3-a4，…，a63-a64，

　　分別與下列32個(gè)數(shù)。

　　a1+a2，a3+a4，…，a63+a64，

　　有相同的奇偶性，這就是說(shuō)，在只考慮奇偶性時(shí)，可以用“和”代替“差”，這樣可以把原來(lái)的計(jì)算過(guò)程改為

　　第一步：a1，a2，a3，a4，…，a61，a62，a63，a64;

　　第一步：a1+a2，a3+a4，…，a61+a62，a63+a64;

　　第三步：a1+a2+a3+a4，…，a61+a62+a63+a64;

　　……

　　最后一步所得到的數(shù)是a1+a2+…+a63+a64。由于a1，a2，…，a64是1，2，…，64的一個(gè)排列，因此它們的總和為1+2+…+64是一個(gè)偶數(shù)，故最后一個(gè)整數(shù)是偶數(shù)

　　將1，2，3這3個(gè)數(shù)字選出1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)按任意次序排列出來(lái)可得到不同的一位數(shù)、二位數(shù)、三位數(shù)，請(qǐng)將其中的質(zhì)數(shù)都寫(xiě)出來(lái).

　　分析：按要求寫(xiě)出所有一位數(shù)，二位數(shù)，三位數(shù)，然后選出質(zhì)數(shù)即可.

　　解答：解：一位數(shù)為：1，2，3，

　　二位數(shù)為：12，13，21，23，31，32，

　　三位數(shù)為：123，132，213，231，312，321，

　　其中質(zhì)數(shù)為2，3，13，23，31.

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