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平面向量的數(shù)量積知識(shí)點(diǎn)總結(jié)的內(nèi)容
教學(xué)過(guò)程：
一、復(fù)習(xí)引入：
1. 向量共線(xiàn)定理? 向量 與非零向量 共線(xiàn)的充要條件是：有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)λ，使 =λ .
2.平面向量基本定理：如果 ， 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量 ，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2使 =λ1 +λ2
3.平面向量的坐標(biāo)表示
分別取與 軸、 軸方向相同的兩個(gè)單位向量 、 作為基底.任作一個(gè)向量 ，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) 、 ，使得
把 叫做向量 的(直角)坐標(biāo)，記作
4.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
若 ， ，則? ，? ， .
若 ， ，則
5. ∥? ( ? )的充要條件是x1y2-x2y1=0
6.線(xiàn)段的定比分點(diǎn)及λ
P1， P2是直線(xiàn)l上的兩點(diǎn)，P是l上不同于P1， P2的任一點(diǎn)，存在實(shí)數(shù)λ，
使? =λ ，λ叫做點(diǎn)P分 所成的比，有三種情況：
λ>0(內(nèi)分) (外分) λ<0 (λ<-1)??? ( 外分)λ<0? (-1<λ<0)
7. 定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：
若點(diǎn)P1(x1，y1) ，P2(x2，y2)，λ為實(shí)數(shù)，且 =λ ，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為( )，我們稱(chēng)λ為點(diǎn)P分 所成的比.
8. 點(diǎn)P的位置與λ的范圍的關(guān)系：
①當(dāng)λ>0時(shí)， 與 同向共線(xiàn)，這時(shí)稱(chēng)點(diǎn)P為 的內(nèi)分點(diǎn).
②當(dāng)λ<0( )時(shí)， 與 反向共線(xiàn)，這時(shí)稱(chēng)點(diǎn)P為 的外分點(diǎn).
9.線(xiàn)段定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式的向量形式：
在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，設(shè) =a， =b，
可得 = .
10.力做的功：W = |F|?|s|cos?，?是F與s的夾角.
二、講解新課：
1.兩個(gè)非零向量夾角的概念
已知非零向量a與b，作 =a， =b，則∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a與b的夾角.
說(shuō)明：(1)當(dāng)θ=0時(shí)，a與b同向;
(2)當(dāng)θ=π時(shí)，a與b反向;
(3)當(dāng)θ= 時(shí)，a與b垂直，記a⊥b;
(4)注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點(diǎn)的.范圍0?≤?≤180?
2.平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義：已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角是θ，則數(shù)量|a||b|cos?叫a與b的數(shù)量積，記作a?b，即有a?b = |a||b|cos?，
(0≤θ≤π).并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0.
?探究：兩個(gè)向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積有很大區(qū)別
(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號(hào)由cos?的符號(hào)所決定.
(2)兩個(gè)向量的數(shù)量積稱(chēng)為內(nèi)積，寫(xiě)成a?b;今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積a×b，而a?b是兩個(gè)向量的數(shù)量的積，書(shū)寫(xiě)時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分.符號(hào)“? ”在向量運(yùn)算中不是乘號(hào)，既不能省略，也不能用“×”代替.
(3)在實(shí)數(shù)中，若a?0，且a?b=0，則b=0;但是在數(shù)量積中，若a?0，且a?b=0，不能推出b=0.因?yàn)槠渲衏os?有可能為0.
(4)已知實(shí)數(shù)a、b、c(b?0)，則ab=bc ? a=c.但是a?b = b?c? a = c
如右圖：a?b = |a||b|cos? = |b||OA|，b?c = |b||c|cos? = |b||OA|
? a?b = b?c? 但a ? c
(5)在實(shí)數(shù)中，有(a?b)c = a(b?c)，但是(a?b)c ? a(b?c)
顯然，這是因?yàn)樽蠖耸桥cc共線(xiàn)的向量，而右端是與a共線(xiàn)的向量，而一般a與c不共線(xiàn).
3.“投影”的概念：作圖
定義：|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影.
投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量;當(dāng)?為銳角時(shí)投影為正值;當(dāng)?為鈍角時(shí)投影為負(fù)值;當(dāng)?為直角時(shí)投影為0;當(dāng)? = 0?時(shí)投影為 |b|;當(dāng)? = 180?時(shí)投影為 ?|b|.
4.向量的數(shù)量積的幾何意義：
數(shù)量積a?b等于a的長(zhǎng)度與b在a方向上投影|b|cos?的乘積.
5.兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：
設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，e是與b同向的單位向量.
1?? e?a = a?e =|a|cos?
2?? a?b ? a?b = 0
3?? 當(dāng)a與b同向時(shí)，a?b = |a||b|;當(dāng)a與b反向時(shí)，a?b = ?|a||b|. 特別的a?a = |a|2或
4?? cos? =
5?? |a?b| ≤ |a||b|
三、講解范例：
例1 已知|a|=5， |b|=4， a與b的夾角θ=120o，求a?b.
例2 已知|a|=6， |b|=4， a與b的夾角為60o求(a+2b)?(a-3b).
例3 已知|a|=3， |b|=4， 且a與b不共線(xiàn)，k為何值時(shí)，向量a+kb與a-kb互相垂直.
例4 判斷正誤，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.
�、賏?0=0;②0?a=0;③0- = ;④|a?b|=|a||b|;⑤若a≠0，則對(duì)任一非零b有a?b≠0;⑥a?b=0，則a與b中至少有一個(gè)為0;⑦對(duì)任意向量a，b，с都有(a?b)с=a(b?с);⑧a與b是兩個(gè)單位向量，則a2=b2.
解：上述8個(gè)命題中只有③⑧正確;
對(duì)于①：兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，應(yīng)有0?a=0;對(duì)于②：應(yīng)有0?a=0;
對(duì)于④：由數(shù)量積定義有|a?b|=|a|?|b|?|cosθ|≤|a||b|，這里θ是a與b的夾角，只有θ=0或θ=π時(shí)，才有|a?b|=|a|?|b|;
對(duì)于⑤：若非零向量a、b垂直，有a?b=0;
對(duì)于⑥：由a?b=0可知a⊥b可以都非零;
對(duì)于⑦：若a與с共線(xiàn)，記a=λс.
則a?b=(λс)?b=λ(с?b)=λ(b?с)，
∴(a?b)?с=λ(b?с)с=(b?с)λс=(b?с)a
若a與с不共線(xiàn)，則(a?b)с≠(b?с)a.
評(píng)述：這一類(lèi)型題，要求學(xué)生確實(shí)把握好數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律.
例6 已知|a|=3，|b|=6，當(dāng)①a∥b，②a⊥b，③a與b的夾角是60°時(shí)，分別求a?b.
解：①當(dāng)a∥b時(shí)，若a與b同向，則它們的夾角θ=0°，
∴a?b=|a|?|b|cos0°=3×6×1=18;
若a與b反向，則它們的夾角θ=180°，
∴a?b=|a||b|cos180°=3×6×(-1)=-18;
�、诋�(dāng)a⊥b時(shí)，它們的夾角θ=90°，
∴a?b=0;
�、郛�(dāng)a與b的夾角是60°時(shí)，有
a?b=|a||b|cos60°=3×6× =
評(píng)述：兩個(gè)向量的數(shù)量積與它們的夾角有關(guān)，其范圍是[0°，180°]，因此，當(dāng)a∥b時(shí)，有0°或180°兩種可能.
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